Номер 6.82, страница 206 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.82. При каких значениях $a$ число $\frac{\pi}{6}$ является корнем уравнения

$3\sin6x+2\sin5x+5\cos4x-3\sin3x+2\cos2x-\sin^2x=a?$

Для того чтобы число $\frac{\pi}{6}$ было корнем уравнения, оно должно при подстановке обращать уравнение в верное числовое равенство. Таким образом, чтобы найти искомое значение параметра $a$, мы должны подставить значение $x = \frac{\pi}{6}$ в левую часть уравнения.

Левая часть уравнения: $3\sin(6x) + 2\sin(5x) + 5\cos(4x) - 3\sin(3x) + 2\cos(2x) - \sin^2(x)$.

Подставляем $x = \frac{\pi}{6}$:

$a = 3\sin(6 \cdot \frac{\pi}{6}) + 2\sin(5 \cdot \frac{\pi}{6}) + 5\cos(4 \cdot \frac{\pi}{6}) - 3\sin(3 \cdot \frac{\pi}{6}) + 2\cos(2 \cdot \frac{\pi}{6}) - \sin^2(\frac{\pi}{6})$

Упрощаем выражения в аргументах тригонометрических функций:

$a = 3\sin(\pi) + 2\sin(\frac{5\pi}{6}) + 5\cos(\frac{2\pi}{3}) - 3\sin(\frac{\pi}{2}) + 2\cos(\frac{\pi}{3}) - \sin^2(\frac{\pi}{6})$

Находим значения тригонометрических функций для данных углов:

$\sin(\pi) = 0$

$\sin(\frac{5\pi}{6}) = \sin(\pi - \frac{\pi}{6}) = \sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$

$\cos(\frac{2\pi}{3}) = \cos(\pi - \frac{\pi}{3}) = -\cos(\frac{\pi}{3}) = -\frac{1}{2}$

$\sin(\frac{\pi}{2}) = 1$

$\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$

$\sin^2(\frac{\pi}{6}) = (\sin(\frac{\pi}{6}))^2 = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$

Подставляем вычисленные значения в выражение для $a$:

$a = 3 \cdot 0 + 2 \cdot \frac{1}{2} + 5 \cdot (-\frac{1}{2}) - 3 \cdot 1 + 2 \cdot \frac{1}{2} - \frac{1}{4}$

Выполняем арифметические действия:

$a = 0 + 1 - \frac{5}{2} - 3 + 1 - \frac{1}{4}$

$a = (1+1-3) - \frac{5}{2} - \frac{1}{4}$

$a = -1 - \frac{10}{4} - \frac{1}{4}$

$a = -\frac{4}{4} - \frac{10}{4} - \frac{1}{4}$

$a = -\frac{4+10+1}{4} = -\frac{15}{4}$

Следовательно, уравнение имеет корень $x = \frac{\pi}{6}$ при $a = -\frac{15}{4}$.

Ответ: $-\frac{15}{4}$.