Номер 6.86, страница 206 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.86. Покажите, что значение выражения не зависит от y:

1) $cos(38^\circ+y)cos(52^\circ-y)-sin(38^\circ+y)sin(52^\circ-y);$

2) $sin(\frac{\pi}{10} - y)cos(\frac{\pi}{15} + y) + cos(\frac{\pi}{10} - y)sin(\frac{\pi}{15} + y).$

1) Для упрощения данного выражения воспользуемся формулой косинуса суммы двух углов: $cos(\alpha + \beta) = cos(\alpha)cos(\beta) - sin(\alpha)sin(\beta)$.
В нашем случае, пусть $\alpha = 38° + y$ и $\beta = 52° - y$.
Тогда исходное выражение можно переписать в следующем виде:
$cos(38°+y)cos(52°-y) - sin(38°+y)sin(52°-y) = cos((38°+y) + (52°-y))$.
Теперь упростим аргумент косинуса:
$(38°+y) + (52°-y) = 38° + y + 52° - y = 90°$.
Таким образом, значение всего выражения равно $cos(90°)$.
Поскольку $cos(90°) = 0$, значение выражения равно 0, что является константой и не зависит от переменной $y$.
Ответ: 0.

2) Для упрощения данного выражения воспользуемся формулой синуса суммы двух углов: $sin(\alpha + \beta) = sin(\alpha)cos(\beta) + cos(\alpha)sin(\beta)$.
В нашем случае, пусть $\alpha = \frac{\pi}{10} - y$ и $\beta = \frac{\pi}{15} + y$.
Тогда исходное выражение можно переписать в следующем виде:
$sin((\frac{\pi}{10} - y) + (\frac{\pi}{15} + y))$.
Теперь упростим аргумент синуса:
$(\frac{\pi}{10} - y) + (\frac{\pi}{15} + y) = \frac{\pi}{10} - y + \frac{\pi}{15} + y = \frac{\pi}{10} + \frac{\pi}{15}$.
Приведем дроби к общему знаменателю 30, чтобы их сложить:
$\frac{\pi}{10} + \frac{\pi}{15} = \frac{3\pi}{30} + \frac{2\pi}{30} = \frac{5\pi}{30} = \frac{\pi}{6}$.
Таким образом, значение всего выражения равно $sin(\frac{\pi}{6})$.
Поскольку $sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$, значение выражения равно $\frac{1}{2}$, что является константой и не зависит от переменной $y$.
Ответ: $\frac{1}{2}$.