Страница 206 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.78. Обратите бесконечную периодическую дробь в обыкновенную:

1) $1.21\overline{32};$

2) $0.27\overline{345};$

3) $3.\overline{31};$

4) $2.1\overline{4}.$

1) 1,21(32);
Чтобы обратить смешанную периодическую дробь $1,21(32)$ в обыкновенную, представим ее в виде суммы целой части и дробной части.
$1,21(32) = 1 + 0,21(32)$
Обозначим дробную часть как $x$:
$x = 0,21(32) = 0,21323232...$
Умножим $x$ на $100$, чтобы часть до периода оказалась слева от запятой:
$100x = 21,323232...$
Умножим $x$ на $10000$, чтобы сдвинуть влево от запятой часть до периода и один период:
$10000x = 2132,323232...$
Теперь вычтем из второго уравнения первое, чтобы избавиться от периодической части:
$10000x - 100x = 2132,3232... - 21,3232...$
$9900x = 2111$
$x = \frac{2111}{9900}$
Теперь вернемся к исходному числу:
$1,21(32) = 1 + x = 1 + \frac{2111}{9900} = \frac{9900}{9900} + \frac{2111}{9900} = \frac{12011}{9900}$
Ответ: $\frac{12011}{9900}$

2) 0,27(345);
Обозначим данную смешанную периодическую дробь как $x$:
$x = 0,27(345) = 0,27345345...$
В этой дроби до периода стоят 2 цифры ('27'), а в периоде 3 цифры ('345').
Умножим $x$ на $10^2 = 100$, чтобы сдвинуть часть до периода влево от запятой:
$100x = 27,345345...$
Умножим $x$ на $10^{2+3} = 10^5 = 100000$, чтобы сдвинуть влево от запятой часть до периода и один период:
$100000x = 27345,345345...$
Вычтем из второго уравнения первое:
$100000x - 100x = 27345,345... - 27,345...$
$99900x = 27318$
$x = \frac{27318}{99900}$
Сократим полученную дробь. Числитель и знаменатель делятся на 6.
$x = \frac{27318 \div 6}{99900 \div 6} = \frac{4553}{16650}$
Ответ: $\frac{4553}{16650}$

3) 3,(31);
Представим число в виде суммы целой и дробной частей:
$3,(31) = 3 + 0,(31)$
Обозначим периодическую дробную часть как $x$:
$x = 0,(31) = 0,313131...$
В периоде 2 цифры, поэтому умножим $x$ на $10^2 = 100$:
$100x = 31,313131...$
Вычтем из $100x$ исходное $x$:
$100x - x = 31,3131... - 0,3131...$
$99x = 31$
$x = \frac{31}{99}$
Теперь добавим целую часть:
$3,(31) = 3 + \frac{31}{99} = \frac{3 \times 99}{99} + \frac{31}{99} = \frac{297 + 31}{99} = \frac{328}{99}$
Ответ: $\frac{328}{99}$

4) 2,1(4).
Представим число в виде суммы целой и дробной частей:
$2,1(4) = 2 + 0,1(4)$
Обозначим дробную часть как $x$:
$x = 0,1(4) = 0,1444...$
До периода стоит 1 цифра, умножим $x$ на $10$:
$10x = 1,444...$
В периоде 1 цифра, поэтому умножим исходное $x$ на $10^{1+1} = 100$:
$100x = 14,444...$
Вычтем из второго уравнения первое:
$100x - 10x = 14,444... - 1,444...$
$90x = 13$
$x = \frac{13}{90}$
Теперь добавим целую часть:
$2,1(4) = 2 + \frac{13}{90} = \frac{2 \times 90}{90} + \frac{13}{90} = \frac{180 + 13}{90} = \frac{193}{90}$
Ответ: $\frac{193}{90}$

6.79. Три числа, первое из которых равно 1, образуют геометрическую прогрессию. Если одно из этих чисел удвоить и взять их в указанном порядке, то получим арифметическую прогрессию. Найдите эти числа.

Пусть три искомых числа образуют геометрическую прогрессию. Обозначим первый член прогрессии как $b_1$, а знаменатель как $q$. По условию, первый член равен 1, то есть $b_1 = 1$. Тогда три числа имеют вид: $1, q, q^2$.

Если одно из этих чисел удвоить, то новая последовательность станет арифметической прогрессией. Для любой арифметической прогрессии $a_1, a_2, a_3$ выполняется свойство: средний член равен полусумме крайних, то есть $2a_2 = a_1 + a_3$. Рассмотрим три возможных случая в зависимости от того, какое число было удвоено.

Случай 1: Удвоено первое число.

Новая последовательность чисел: $2, q, q^2$.
Так как эти числа образуют арифметическую прогрессию, должно выполняться равенство:
$2 \cdot q = 2 + q^2$
Запишем это как квадратное уравнение:
$q^2 - 2q + 2 = 0$
Найдем дискриминант $D$:
$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 4 - 8 = -4$
Поскольку дискриминант отрицательный ($D < 0$), уравнение не имеет действительных корней. Следовательно, этот случай невозможен.

Случай 2: Удвоено второе число.

Новая последовательность чисел: $1, 2q, q^2$.
Так как эти числа образуют арифметическую прогрессию, должно выполняться равенство:
$2 \cdot (2q) = 1 + q^2$
$4q = 1 + q^2$
Запишем это как квадратное уравнение:
$q^2 - 4q + 1 = 0$
Найдем корни этого уравнения по формуле:
$q = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1} = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{12}}{2}$
Упростим корень: $\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$.
$q = \frac{4 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 2 \pm \sqrt{3}$
Мы получили два возможных действительных значения для знаменателя $q$. Для каждого из них найдем соответствующий набор чисел.
1) Если $q = 2 + \sqrt{3}$, то исходные числа:
$b_1 = 1$
$b_2 = q = 2 + \sqrt{3}$
$b_3 = q^2 = (2 + \sqrt{3})^2 = 2^2 + 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 4 + 4\sqrt{3} + 3 = 7 + 4\sqrt{3}$
Таким образом, один из наборов чисел: $1, 2 + \sqrt{3}, 7 + 4\sqrt{3}$.
2) Если $q = 2 - \sqrt{3}$, то исходные числа:
$b_1 = 1$
$b_2 = q = 2 - \sqrt{3}$
$b_3 = q^2 = (2 - \sqrt{3})^2 = 2^2 - 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 4 - 4\sqrt{3} + 3 = 7 - 4\sqrt{3}$
Таким образом, второй набор чисел: $1, 2 - \sqrt{3}, 7 - 4\sqrt{3}$.

Случай 3: Удвоено третье число.

Новая последовательность чисел: $1, q, 2q^2$.
Так как эти числа образуют арифметическую прогрессию, должно выполняться равенство:
$2 \cdot q = 1 + 2q^2$
Запишем это как квадратное уравнение:
$2q^2 - 2q + 1 = 0$
Найдем дискриминант $D$:
$D = (-2)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 4 - 8 = -4$
Поскольку дискриминант отрицательный ($D < 0$), это уравнение также не имеет действительных корней. Этот случай невозможен.

Итак, мы нашли два набора чисел, удовлетворяющих условию задачи.

Ответ: $1, 2 + \sqrt{3}, 7 + 4\sqrt{3}$ или $1, 2 - \sqrt{3}, 7 - 4\sqrt{3}$.

6.80. Восьмой член арифметической прогрессии равен 60. Члены $a_1$, $a_7$ и $a_{25}$ образуют геометрическую прогрессию. Найдите знаменатель этой прогрессии.

Пусть $\{a_n\}$ – заданная арифметическая прогрессия, где $a_1$ – ее первый член, а $d$ – ее разность.

По условию, восьмой член арифметической прогрессии равен 60. Используя формулу n-го члена $a_n = a_1 + (n-1)d$, получаем:

$a_8 = a_1 + (8-1)d = a_1 + 7d = 60$.

Из этого уравнения можно выразить $a_1$ через $d$:

$a_1 = 60 - 7d$.

Также по условию задачи члены $a_1$, $a_7$ и $a_{25}$ образуют геометрическую прогрессию. Для трех последовательных членов геометрической прогрессии $b_1, b_2, b_3$ выполняется характеристическое свойство: $b_2^2 = b_1 \cdot b_3$. В нашем случае, $b_1 = a_1$, $b_2 = a_7$, $b_3 = a_{25}$, следовательно:

$a_7^2 = a_1 \cdot a_{25}$.

Выразим $a_7$ и $a_{25}$ через $a_1$ и $d$:

$a_7 = a_1 + (7-1)d = a_1 + 6d$

$a_{25} = a_1 + (25-1)d = a_1 + 24d$

Подставим эти выражения в свойство геометрической прогрессии:

$(a_1 + 6d)^2 = a_1 \cdot (a_1 + 24d)$.

Теперь подставим в это уравнение ранее найденное выражение для $a_1 = 60 - 7d$:

$((60 - 7d) + 6d)^2 = (60 - 7d) \cdot ((60 - 7d) + 24d)$

Упростим обе части уравнения:

$(60 - d)^2 = (60 - 7d)(60 + 17d)$

Раскроем скобки:

$3600 - 120d + d^2 = 3600 + 1020d - 420d - 119d^2$

$3600 - 120d + d^2 = 3600 + 600d - 119d^2$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение относительно $d$:

$d^2 + 119d^2 - 120d - 600d + 3600 - 3600 = 0$

$120d^2 - 720d = 0$

Вынесем общий множитель $120d$ за скобки:

$120d(d - 6) = 0$

Это уравнение имеет два возможных решения для разности $d$: $d=0$ или $d=6$.

Теперь найдем знаменатель геометрической прогрессии $q$ для каждого из случаев. Знаменатель $q$ можно найти как отношение второго члена к первому: $q = \frac{a_7}{a_1}$.

Рассмотрим первый случай, когда $d=0$.

Тогда $a_1 = 60 - 7(0) = 60$.

Члены арифметической прогрессии в этом случае все равны 60. Члены геометрической прогрессии: $a_1=60$, $a_7=60$.

Знаменатель $q = \frac{a_7}{a_1} = \frac{60}{60} = 1$.

Рассмотрим второй случай, когда $d=6$.

Тогда $a_1 = 60 - 7(6) = 60 - 42 = 18$.

Найдем $a_7$: $a_7 = a_1 + 6d = 18 + 6(6) = 18 + 36 = 54$.

Знаменатель $q = \frac{a_7}{a_1} = \frac{54}{18} = 3$.

Таким образом, существуют два возможных значения для знаменателя этой прогрессии.

Ответ: 1 или 3.

6.81. Найдите значения тригонометрических функций угла $\alpha$, если:

1) $\sin \alpha = -\frac{3}{5}$, $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$;

2) $\cos \alpha = -\frac{12}{13}$, $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$;

3) $\text{tg}\alpha = 2\sqrt{2}$, $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$;

4) $\text{ctg}\alpha = -2\sqrt{6}$, $\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi$.

1) Дано: $\sin\alpha = -\frac{3}{5}$, $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$. Это означает, что угол $\alpha$ находится в третьей четверти.

В третьей четверти косинус отрицателен ($\cos\alpha < 0$), тангенс и котангенс положительны ($\tan\alpha > 0, \cot\alpha > 0$).

Найдем $\cos\alpha$ из основного тригонометрического тождества $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$.

$\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha = 1 - (-\frac{3}{5})^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$.

$\cos\alpha = \pm\sqrt{\frac{16}{25}} = \pm\frac{4}{5}$.

Так как угол $\alpha$ в третьей четверти, выбираем отрицательное значение: $\cos\alpha = -\frac{4}{5}$.

Теперь найдем тангенс и котангенс.

$\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{-3/5}{-4/5} = \frac{3}{4}$.

$\cot\alpha = \frac{1}{\tan\alpha} = \frac{1}{3/4} = \frac{4}{3}$.

Ответ: $\cos\alpha = -\frac{4}{5}$, $\tan\alpha = \frac{3}{4}$, $\cot\alpha = \frac{4}{3}$.

2) Дано: $\cos\alpha = -\frac{12}{13}$, $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$. Это означает, что угол $\alpha$ находится во второй четверти.

Во второй четверти синус положителен ($\sin\alpha > 0$), тангенс и котангенс отрицательны ($\tan\alpha < 0, \cot\alpha < 0$).

Найдем $\sin\alpha$ из основного тригонометрического тождества $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$.

$\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha = 1 - (-\frac{12}{13})^2 = 1 - \frac{144}{169} = \frac{25}{169}$.

$\sin\alpha = \pm\sqrt{\frac{25}{169}} = \pm\frac{5}{13}$.

Так как угол $\alpha$ во второй четверти, выбираем положительное значение: $\sin\alpha = \frac{5}{13}$.

Теперь найдем тангенс и котангенс.

$\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{5/13}{-12/13} = -\frac{5}{12}$.

$\cot\alpha = \frac{1}{\tan\alpha} = \frac{1}{-5/12} = -\frac{12}{5}$.

Ответ: $\sin\alpha = \frac{5}{13}$, $\tan\alpha = -\frac{5}{12}$, $\cot\alpha = -\frac{12}{5}$.

3) Дано: $\tan\alpha = 2\sqrt{2}$, $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$. Это означает, что угол $\alpha$ находится в первой четверти.

В первой четверти все тригонометрические функции положительны.

Найдем $\cot\alpha$.

$\cot\alpha = \frac{1}{\tan\alpha} = \frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4}$.

Найдем $\cos\alpha$ из тождества $1 + \tan^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha}$.

$\cos^2\alpha = \frac{1}{1+\tan^2\alpha} = \frac{1}{1+(2\sqrt{2})^2} = \frac{1}{1+8} = \frac{1}{9}$.

$\cos\alpha = \pm\sqrt{\frac{1}{9}} = \pm\frac{1}{3}$.

Так как угол $\alpha$ в первой четверти, выбираем положительное значение: $\cos\alpha = \frac{1}{3}$.

Найдем $\sin\alpha$ из тождества $\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$, откуда $\sin\alpha = \tan\alpha \cdot \cos\alpha$.

$\sin\alpha = 2\sqrt{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$.

Ответ: $\sin\alpha = \frac{2\sqrt{2}}{3}$, $\cos\alpha = \frac{1}{3}$, $\cot\alpha = \frac{\sqrt{2}}{4}$.

4) Дано: $\cot\alpha = -2\sqrt{6}$, $\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi$. Это означает, что угол $\alpha$ находится в четвертой четверти.

В четвертой четверти синус и тангенс отрицательны ($\sin\alpha < 0, \tan\alpha < 0$), а косинус положителен ($\cos\alpha > 0$).

Найдем $\tan\alpha$.

$\tan\alpha = \frac{1}{\cot\alpha} = \frac{1}{-2\sqrt{6}} = -\frac{\sqrt{6}}{2\sqrt{6} \cdot \sqrt{6}} = -\frac{\sqrt{6}}{12}$.

Найдем $\sin\alpha$ из тождества $1 + \cot^2\alpha = \frac{1}{\sin^2\alpha}$.

$\sin^2\alpha = \frac{1}{1+\cot^2\alpha} = \frac{1}{1+(-2\sqrt{6})^2} = \frac{1}{1+24} = \frac{1}{25}$.

$\sin\alpha = \pm\sqrt{\frac{1}{25}} = \pm\frac{1}{5}$.

Так как угол $\alpha$ в четвертой четверти, выбираем отрицательное значение: $\sin\alpha = -\frac{1}{5}$.

Найдем $\cos\alpha$ из тождества $\cot\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$, откуда $\cos\alpha = \cot\alpha \cdot \sin\alpha$.

$\cos\alpha = (-2\sqrt{6}) \cdot (-\frac{1}{5}) = \frac{2\sqrt{6}}{5}$.

Ответ: $\sin\alpha = -\frac{1}{5}$, $\cos\alpha = \frac{2\sqrt{6}}{5}$, $\tan\alpha = -\frac{\sqrt{6}}{12}$.

6.82. При каких значениях $a$ число $\frac{\pi}{6}$ является корнем уравнения

$3\sin6x+2\sin5x+5\cos4x-3\sin3x+2\cos2x-\sin^2x=a?$

Для того чтобы число $\frac{\pi}{6}$ было корнем уравнения, оно должно при подстановке обращать уравнение в верное числовое равенство. Таким образом, чтобы найти искомое значение параметра $a$, мы должны подставить значение $x = \frac{\pi}{6}$ в левую часть уравнения.

Левая часть уравнения: $3\sin(6x) + 2\sin(5x) + 5\cos(4x) - 3\sin(3x) + 2\cos(2x) - \sin^2(x)$.

Подставляем $x = \frac{\pi}{6}$:

$a = 3\sin(6 \cdot \frac{\pi}{6}) + 2\sin(5 \cdot \frac{\pi}{6}) + 5\cos(4 \cdot \frac{\pi}{6}) - 3\sin(3 \cdot \frac{\pi}{6}) + 2\cos(2 \cdot \frac{\pi}{6}) - \sin^2(\frac{\pi}{6})$

Упрощаем выражения в аргументах тригонометрических функций:

$a = 3\sin(\pi) + 2\sin(\frac{5\pi}{6}) + 5\cos(\frac{2\pi}{3}) - 3\sin(\frac{\pi}{2}) + 2\cos(\frac{\pi}{3}) - \sin^2(\frac{\pi}{6})$

Находим значения тригонометрических функций для данных углов:

$\sin(\pi) = 0$

$\sin(\frac{5\pi}{6}) = \sin(\pi - \frac{\pi}{6}) = \sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$

$\cos(\frac{2\pi}{3}) = \cos(\pi - \frac{\pi}{3}) = -\cos(\frac{\pi}{3}) = -\frac{1}{2}$

$\sin(\frac{\pi}{2}) = 1$

$\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$

$\sin^2(\frac{\pi}{6}) = (\sin(\frac{\pi}{6}))^2 = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$

Подставляем вычисленные значения в выражение для $a$:

$a = 3 \cdot 0 + 2 \cdot \frac{1}{2} + 5 \cdot (-\frac{1}{2}) - 3 \cdot 1 + 2 \cdot \frac{1}{2} - \frac{1}{4}$

Выполняем арифметические действия:

$a = 0 + 1 - \frac{5}{2} - 3 + 1 - \frac{1}{4}$

$a = (1+1-3) - \frac{5}{2} - \frac{1}{4}$

$a = -1 - \frac{10}{4} - \frac{1}{4}$

$a = -\frac{4}{4} - \frac{10}{4} - \frac{1}{4}$

$a = -\frac{4+10+1}{4} = -\frac{15}{4}$

Следовательно, уравнение имеет корень $x = \frac{\pi}{6}$ при $a = -\frac{15}{4}$.

Ответ: $-\frac{15}{4}$.

6.83. Пусть $0

1) $x, \pi-x, \pi+x, \frac{\pi}{2}-x, \frac{\pi}{2}+x$;

2) $x+2\pi k, k\in Z$;

3) $\pm x+2\pi k, k\in Z$;

4) $x+\pi k, k\in Z$;

5) $(-1)^k\pi+ \pi k, k\in Z$.

По условию задачи, угол $x$ находится в интервале $0 < x < \frac{\pi}{2}$. Это означает, что точка, соответствующая углу $x$ на единичной окружности, находится в первой четверти. Обозначим эту точку как $P_x$. Координаты этой точки равны $(\cos x, \sin x)$.

На рисунке ниже показано расположение точек на единичной окружности для некоторого угла $x$ из первой четверти (для наглядности взят угол, близкий к $\frac{\pi}{6}$).

Примечание: на рисунке используется правая система координат, где ось Oy направлена вверх.

Рассмотрим каждую точку отдельно:
• Угол $x$ по условию $0 < x < \frac{\pi}{2}$, значит, соответствующая точка находится в первой четверти.
• Для угла $\pi-x$: из $0 < x < \frac{\pi}{2}$ следует $\frac{\pi}{2} < \pi-x < \pi$. Точка находится во второй четверти. Она симметрична точке $P_x$ относительно оси ординат (Oy).
• Для угла $\pi+x$: из $0 < x < \frac{\pi}{2}$ следует $\pi < \pi+x < \frac{3\pi}{2}$. Точка находится в третьей четверти. Она симметрична точке $P_x$ относительно начала координат.
• Для угла $\frac{\pi}{2}-x$: из $0 < x < \frac{\pi}{2}$ следует $0 < \frac{\pi}{2}-x < \frac{\pi}{2}$. Точка находится в первой четверти. Она симметрична точке $P_x$ относительно прямой $y=x$.
• Для угла $\frac{\pi}{2}+x$: из $0 < x < \frac{\pi}{2}$ следует $\frac{\pi}{2} < \frac{\pi}{2}+x < \pi$. Точка находится во второй четверти.
Всего этим углам соответствуют пять различных точек на единичной окружности.
Ответ: Всего пять точек: две в первой четверти (соответствующие углам $x$ и $\frac{\pi}{2}-x$), две во второй четверти (углы $\pi-x$ и $\frac{\pi}{2}+x$) и одна в третьей четверти (угол $\pi+x$).

Прибавление к углу величины $2\pi k$ (где $k$ - целое число) соответствует совершению $k$ полных оборотов по окружности. Положение точки на единичной окружности при этом не изменяется. Следовательно, все углы вида $x + 2\pi k$ соответствуют одной и той же точке, что и угол $x$. Поскольку $0 < x < \frac{\pi}{2}$, эта точка находится в первой четверти.
Ответ: Одна точка в первой четверти, совпадающая с точкой для угла $x$.

Эта запись объединяет две серии углов: $x + 2\pi k$ и $-x + 2\pi k$.
• Серия $x + 2\pi k$ соответствует одной точке в первой четверти (как в пункте 2).
• Серия $-x + 2\pi k$ соответствует точке для угла $-x$. Так как $0 < x < \frac{\pi}{2}$, то $-\frac{\pi}{2} < -x < 0$. Эта точка находится в четвертой четверти. Она симметрична точке $P_x$ относительно оси абсцисс (Ox).
Таким образом, мы получаем две точки.
Ответ: Две точки: одна в первой четверти (для угла $x$) и одна в четвертой четверти (для угла $-x$), симметричные друг другу относительно оси абсцисс.

Рассмотрим два случая для целого числа $k$:
• Если $k$ - четное число, т.е. $k=2n$ для некоторого $n \in \mathbb{Z}$, то угол равен $x + 2\pi n$. Это та же точка, что и для угла $x$, в первой четверти.
• Если $k$ - нечетное число, т.е. $k=2n+1$ для некоторого $n \in \mathbb{Z}$, то угол равен $x + \pi(2n+1) = (x+\pi) + 2\pi n$. Это точка, соответствующая углу $x+\pi$. Как показано в пункте 1, эта точка находится в третьей четверти.
Эти две точки диаметрально противоположны друг другу.
Ответ: Две диаметрально противоположные точки: одна в первой четверти (для угла $x$) и одна в третьей четверти (для угла $x+\pi$).

Рассмотрим два случая для целого числа $k$:
• Если $k$ - четное число, т.е. $k=2n$ для некоторого $n \in \mathbb{Z}$, то угол равен $(-1)^{2n}x + \pi(2n) = x + 2\pi n$. Это точка для угла $x$ в первой четверти.
• Если $k$ - нечетное число, т.е. $k=2n+1$ для некоторого $n \in \mathbb{Z}$, то угол равен $(-1)^{2n+1}x + \pi(2n+1) = -x + \pi + 2\pi n$. Это точка, соответствующая углу $\pi-x$. Как показано в пункте 1, эта точка находится во второй четверти.
Эти две точки симметричны друг другу относительно оси ординат (Oy).
Ответ: Две точки: одна в первой четверти (для угла $x$) и одна во второй четверти (для угла $\pi-x$), симметричные друг другу относительно оси ординат.

6.84. Упростите выражения:

1) $1 + \sin(\pi - \varphi)\cos(\frac{3\pi}{2} - \varphi)$;

2) $1 - \operatorname{tg}(\frac{3\pi}{2} - \varphi)\operatorname{ctg}(\frac{\pi}{2} - \varphi)$;

3) $1 + \operatorname{tg}\beta\operatorname{tg}2\beta$;

4) $\operatorname{ctg}\alpha - \operatorname{ctg}2\alpha$.

1) $1 + \sin(\pi - \phi)\cos(\frac{3\pi}{2} - \phi)$
Для упрощения этого выражения воспользуемся формулами приведения.
Первый множитель: $\sin(\pi - \phi)$. Угол $(\pi - \phi)$ находится во второй четверти (если считать $\phi$ острым), где синус положителен. Так как мы отнимаем от $\pi$, название функции не меняется. Таким образом, $\sin(\pi - \phi) = \sin(\phi)$.
Второй множитель: $\cos(\frac{3\pi}{2} - \phi)$. Угол $(\frac{3\pi}{2} - \phi)$ находится в третьей четверти, где косинус отрицателен. Так как мы отнимаем от $\frac{3\pi}{2}$, название функции меняется на кофункцию (косинус на синус). Таким образом, $\cos(\frac{3\pi}{2} - \phi) = -\sin(\phi)$.
Подставим полученные значения обратно в исходное выражение:
$1 + (\sin(\phi)) \cdot (-\sin(\phi)) = 1 - \sin^2(\phi)$.
Согласно основному тригонометрическому тождеству, $\sin^2(\phi) + \cos^2(\phi) = 1$, из которого следует, что $1 - \sin^2(\phi) = \cos^2(\phi)$.
Ответ: $\cos^2(\phi)$

2) $1 - \text{tg}(\frac{3\pi}{2} - \phi)\text{ctg}(\frac{\pi}{2} - \phi)$
Применим формулы приведения.
Первый множитель: $\text{tg}(\frac{3\pi}{2} - \phi)$. Угол $(\frac{3\pi}{2} - \phi)$ находится в третьей четверти, где тангенс положителен. Название функции меняется на кофункцию. Следовательно, $\text{tg}(\frac{3\pi}{2} - \phi) = \text{ctg}(\phi)$.
Второй множитель: $\text{ctg}(\frac{\pi}{2} - \phi)$. Угол $(\frac{\pi}{2} - \phi)$ находится в первой четверти, где котангенс положителен. Название функции меняется на кофункцию. Следовательно, $\text{ctg}(\frac{\pi}{2} - \phi) = \text{tg}(\phi)$.
Подставим упрощенные выражения:
$1 - \text{ctg}(\phi) \cdot \text{tg}(\phi)$.
Мы знаем, что произведение тангенса и котангенса одного и того же угла равно единице: $\text{tg}(\phi) \cdot \text{ctg}(\phi) = 1$.
$1 - 1 = 0$.
Ответ: $0$

3) $1 + \text{tg}\beta\text{tg}2\beta$
Представим тангенсы через синусы и косинусы: $\text{tg}\beta = \frac{\sin\beta}{\cos\beta}$ и $\text{tg}2\beta = \frac{\sin2\beta}{\cos2\beta}$.
Выражение принимает вид:
$1 + \frac{\sin\beta}{\cos\beta} \cdot \frac{\sin2\beta}{\cos2\beta} = 1 + \frac{\sin\beta\sin2\beta}{\cos\beta\cos2\beta}$.
Приведем к общему знаменателю:
$\frac{\cos\beta\cos2\beta + \sin\beta\sin2\beta}{\cos\beta\cos2\beta}$.
В числителе мы видим формулу косинуса разности: $\cos(A-B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B$. В нашем случае $A=2\beta$ и $B=\beta$.
$\cos2\beta\cos\beta + \sin2\beta\sin\beta = \cos(2\beta - \beta) = \cos\beta$.
Подставим это в наше выражение:
$\frac{\cos\beta}{\cos\beta\cos2\beta}$.
Сократив на $\cos\beta$ (при условии, что $\cos\beta \neq 0$), получим:
$\frac{1}{\cos2\beta}$.
Ответ: $\frac{1}{\cos2\beta}$

4) $\text{ctg}\alpha - \text{ctg}2\alpha$
Представим котангенсы через синусы и косинусы: $\text{ctg}\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$ и $\text{ctg}2\alpha = \frac{\cos2\alpha}{\sin2\alpha}$.
Выражение принимает вид:
$\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} - \frac{\cos2\alpha}{\sin2\alpha}$.
Приведем к общему знаменателю $\sin\alpha\sin2\alpha$:
$\frac{\cos\alpha\sin2\alpha - \cos2\alpha\sin\alpha}{\sin\alpha\sin2\alpha}$.
В числителе мы видим формулу синуса разности: $\sin(A-B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$. В нашем случае $A=2\alpha$ и $B=\alpha$.
$\sin2\alpha\cos\alpha - \cos2\alpha\sin\alpha = \sin(2\alpha - \alpha) = \sin\alpha$.
Подставим это в наше выражение:
$\frac{\sin\alpha}{\sin\alpha\sin2\alpha}$.
Сократив на $\sin\alpha$ (при условии, что $\sin\alpha \neq 0$), получим:
$\frac{1}{\sin2\alpha}$.
Ответ: $\frac{1}{\sin2\alpha}$

6.85. Докажите тождества:

1) $(1+\text{ctg}^2\alpha)(1-\text{sin}^2\alpha)=\text{ctg}^2\alpha$;

2) $(1+\text{tg}^2\beta)(1-\text{cos}^2\beta)=\text{tg}^2\beta$;

3) $\frac{\text{sin } x + \text{cos } x\text{tg}x}{\text{cos } x + \text{sin } x\text{ctg}x} = 2\text{tg}x$;

4) $\frac{1}{\text{tg}^2 y + 1} - \frac{1}{\text{ctg}^2 y + 1} = \text{cos}2y$.

1) Докажем тождество $(1 + \text{ctg}^2\alpha)(1 - \sin^2\alpha) = \text{ctg}^2\alpha$.

Преобразуем левую часть равенства, используя основные тригонометрические тождества: $1 + \text{ctg}^2\alpha = \frac{1}{\sin^2\alpha}$ и $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, из которого следует, что $1 - \sin^2\alpha = \cos^2\alpha$.

Подставим эти выражения в левую часть:

$(1 + \text{ctg}^2\alpha)(1 - \sin^2\alpha) = \frac{1}{\sin^2\alpha} \cdot \cos^2\alpha = \frac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha}$.

По определению котангенса, $\text{ctg}^2\alpha = \frac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha}$.

Таким образом, левая часть равна правой. Тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.

2) Докажем тождество $(1 + \text{tg}^2\beta)(1 - \cos^2\beta) = \text{tg}^2\beta$.

Преобразуем левую часть, используя тригонометрические тождества: $1 + \text{tg}^2\beta = \frac{1}{\cos^2\beta}$ и $1 - \cos^2\beta = \sin^2\beta$.

Подставим эти выражения в левую часть:

$(1 + \text{tg}^2\beta)(1 - \cos^2\beta) = \frac{1}{\cos^2\beta} \cdot \sin^2\beta = \frac{\sin^2\beta}{\cos^2\beta}$.

По определению тангенса, $\text{tg}^2\beta = \frac{\sin^2\beta}{\cos^2\beta}$.

Следовательно, левая часть равна правой. Тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.

3) Докажем тождество $\frac{\sin x + \cos x \cdot \text{tg}x}{\cos x + \sin x \cdot \text{ctg}x} = 2\text{tg}x$.

Преобразуем левую часть тождества. Используем определения тангенса и котангенса: $\text{tg}x = \frac{\sin x}{\cos x}$ и $\text{ctg}x = \frac{\cos x}{\sin x}$.

Преобразуем числитель дроби:

$\sin x + \cos x \cdot \text{tg}x = \sin x + \cos x \cdot \frac{\sin x}{\cos x} = \sin x + \sin x = 2\sin x$.

Преобразуем знаменатель дроби:

$\cos x + \sin x \cdot \text{ctg}x = \cos x + \sin x \cdot \frac{\cos x}{\sin x} = \cos x + \cos x = 2\cos x$.

Теперь подставим преобразованные числитель и знаменатель обратно в дробь:

$\frac{2\sin x}{2\cos x} = \frac{\sin x}{\cos x} = \text{tg}x$.

В результате преобразования левой части мы получили $\text{tg}x$. Правая часть тождества равна $2\text{tg}x$. Равенство $\text{tg}x = 2\text{tg}x$ выполняется только в случае, когда $\text{tg}x = 0$, то есть при $x = \pi k$, где $k$ — целое число. Для других значений $x$ тождество неверно. Вероятно, в условии задачи допущена опечатка.

Ответ: данное равенство не является тождеством. Оно верно только при $x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

4) Докажем тождество $\frac{1}{\text{tg}^2 y + 1} - \frac{1}{\text{ctg}^2 y + 1} = \cos 2y$.

Преобразуем левую часть равенства. Воспользуемся основными тригонометрическими тождествами: $1 + \text{tg}^2y = \sec^2y = \frac{1}{\cos^2y}$ и $1 + \text{ctg}^2y = \csc^2y = \frac{1}{\sin^2y}$.

Подставим эти выражения в левую часть:

$\frac{1}{\text{tg}^2 y + 1} - \frac{1}{\text{ctg}^2 y + 1} = \frac{1}{\frac{1}{\cos^2y}} - \frac{1}{\frac{1}{\sin^2y}}$.

Упростим полученное выражение:

$\cos^2y - \sin^2y$.

Это выражение является формулой косинуса двойного угла: $\cos^2y - \sin^2y = \cos(2y)$.

Таким образом, левая часть равна правой. Тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.

6.86. Покажите, что значение выражения не зависит от y:

1) $cos(38^\circ+y)cos(52^\circ-y)-sin(38^\circ+y)sin(52^\circ-y);$

2) $sin(\frac{\pi}{10} - y)cos(\frac{\pi}{15} + y) + cos(\frac{\pi}{10} - y)sin(\frac{\pi}{15} + y).$

1) Для упрощения данного выражения воспользуемся формулой косинуса суммы двух углов: $cos(\alpha + \beta) = cos(\alpha)cos(\beta) - sin(\alpha)sin(\beta)$.
В нашем случае, пусть $\alpha = 38° + y$ и $\beta = 52° - y$.
Тогда исходное выражение можно переписать в следующем виде:
$cos(38°+y)cos(52°-y) - sin(38°+y)sin(52°-y) = cos((38°+y) + (52°-y))$.
Теперь упростим аргумент косинуса:
$(38°+y) + (52°-y) = 38° + y + 52° - y = 90°$.
Таким образом, значение всего выражения равно $cos(90°)$.
Поскольку $cos(90°) = 0$, значение выражения равно 0, что является константой и не зависит от переменной $y$.
Ответ: 0.

2) Для упрощения данного выражения воспользуемся формулой синуса суммы двух углов: $sin(\alpha + \beta) = sin(\alpha)cos(\beta) + cos(\alpha)sin(\beta)$.
В нашем случае, пусть $\alpha = \frac{\pi}{10} - y$ и $\beta = \frac{\pi}{15} + y$.
Тогда исходное выражение можно переписать в следующем виде:
$sin((\frac{\pi}{10} - y) + (\frac{\pi}{15} + y))$.
Теперь упростим аргумент синуса:
$(\frac{\pi}{10} - y) + (\frac{\pi}{15} + y) = \frac{\pi}{10} - y + \frac{\pi}{15} + y = \frac{\pi}{10} + \frac{\pi}{15}$.
Приведем дроби к общему знаменателю 30, чтобы их сложить:
$\frac{\pi}{10} + \frac{\pi}{15} = \frac{3\pi}{30} + \frac{2\pi}{30} = \frac{5\pi}{30} = \frac{\pi}{6}$.
Таким образом, значение всего выражения равно $sin(\frac{\pi}{6})$.
Поскольку $sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$, значение выражения равно $\frac{1}{2}$, что является константой и не зависит от переменной $y$.
Ответ: $\frac{1}{2}$.