Страница 203 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.53. При каких значениях a число $x=1$ является решением неравенства $ax^2+(3a^2+1)x-3>0$?

Для того чтобы число $x=1$ являлось решением данного неравенства, оно должно удовлетворять этому неравенству. Подставим значение $x=1$ в неравенство $ax^2+(3a^2+1)x-3>0$.

$a(1)^2+(3a^2+1)\cdot 1-3>0$

Упростим полученное выражение:

$a+3a^2+1-3>0$

$3a^2+a-2>0$

Мы получили квадратное неравенство относительно переменной $a$. Чтобы его решить, найдем корни соответствующего квадратного уравнения $3a^2+a-2=0$. Для этого уравнения коэффициенты равны: $A=3$, $B=1$, $C=-2$.

Вычислим дискриминант по формуле $Д = B^2 - 4AC$:

$Д = 1^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 1 + 24 = 25$

Найдем корни уравнения по формуле $a = \frac{-B \pm \sqrt{Д}}{2A}$:

$a_1 = \frac{-1+\sqrt{25}}{2 \cdot 3} = \frac{-1+5}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

$a_2 = \frac{-1-\sqrt{25}}{2 \cdot 3} = \frac{-1-5}{6} = \frac{-6}{6} = -1$

Корни уравнения: $a=-1$ и $a=\frac{2}{3}$.

Графиком функции $y=3a^2+a-2$ является парабола, ветви которой направлены вверх, поскольку коэффициент при $a^2$ положителен ($A=3>0$). Следовательно, квадратный трехчлен $3a^2+a-2$ принимает положительные значения, когда переменная $a$ находится вне интервала между корнями.

Таким образом, решение неравенства $3a^2+a-2>0$ есть объединение двух интервалов: $a < -1$ или $a > \frac{2}{3}$.

Ответ: $a \in (-\infty; -1) \cup (\frac{2}{3}; +\infty)$

6.54. При каких значениях $a$ любое решение неравенства $x^2-3x-4<0$ является решением неравенства $x^2-a^2<0$?

Условие задачи заключается в том, чтобы найти все значения параметра $a$, при которых множество решений неравенства $x^2-3x-4<0$ является подмножеством множества решений неравенства $x^2-a^2<0$.

Сначала решим первое неравенство: $x^2-3x-4<0$.

Для этого найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2-3x-4=0$. Используя теорему Виета, находим, что сумма корней равна $3$, а их произведение равно $-4$. Отсюда корни: $x_1 = -1$ и $x_2 = 4$.

Графиком функции $y=x^2-3x-4$ является парабола с ветвями, направленными вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен. Следовательно, неравенство $x^2-3x-4<0$ выполняется на интервале между корнями. Таким образом, множество решений первого неравенства — это интервал $(-1, 4)$.

Теперь решим второе неравенство: $x^2-a^2<0$.

Это неравенство можно переписать в виде $x^2 < a^2$. Оно равносильно неравенству $|x| < \sqrt{a^2}$, что то же самое, что $|x| < |a|$.

Если $a=0$, неравенство принимает вид $x^2 < 0$, что не имеет решений. В этом случае условие задачи не выполняется, так как множество решений первого неравенства $(-1, 4)$ непустое.

Если $a \neq 0$, то $|a|>0$, и решением неравенства $|x| < |a|$ является интервал $(-|a|, |a|)$.

Для того чтобы любое решение первого неравенства было также решением второго, интервал $(-1, 4)$ должен полностью содержаться в интервале $(-|a|, |a|)$. Это можно записать как $(-1, 4) \subseteq (-|a|, |a|)$.

Это включение будет верным, если левая граница внешнего интервала будет меньше или равна левой границе внутреннего, а правая граница внутреннего — меньше или равна правой границе внешнего. Это можно представить в виде системы неравенств:

$\begin{cases} -|a| \le -1 \\ 4 \le |a| \end{cases}$

Визуализируем это на числовой оси:

Решим полученную систему:

$\begin{cases} |a| \ge 1 \\ |a| \ge 4 \end{cases}$

Пересечением решений этих двух неравенств является более сильное из них, то есть $|a| \ge 4$.

Неравенство $|a| \ge 4$ равносильно совокупности двух неравенств: $a \ge 4$ или $a \le -4$.

Таким образом, искомые значения параметра $a$ принадлежат объединению промежутков $(-\infty, -4] \cup [4, \infty)$.

Ответ: $a \in (-\infty, -4] \cup [4, \infty)$.

6.55. При каких значениях $a$ любое решение неравенства $x^2-5x+4\le0$ является решением неравенства $x^2-a^2>0$?

6.55. Условие задачи заключается в том, чтобы найти все значения параметра $a$, при которых любое решение неравенства $x^2-5x+4\le0$ является решением неравенства $x^2-a^2>0$. Это равносильно тому, что множество решений первого неравенства является подмножеством множества решений второго неравенства.

1. Найдем множество решений первого неравенства: $x^2-5x+4\le0$.

Для этого решим соответствующее квадратное уравнение $x^2-5x+4=0$. По теореме Виета, сумма корней равна 5, а их произведение равно 4. Следовательно, корнями являются $x_1=1$ и $x_2=4$.

Парабола $y=x^2-5x+4$ имеет ветви, направленные вверх. Значит, значения функции не больше нуля ($y \le 0$) на промежутке между корнями, включая сами корни. Таким образом, решением первого неравенства является отрезок $x \in [1; 4]$.

2. Найдем множество решений второго неравенства: $x^2-a^2>0$.

Это неравенство можно переписать в виде $x^2 > a^2$. Оно равносильно неравенству $|x| > |a|$.

Решением этого неравенства является объединение двух интервалов: $x \in (-\infty; -|a|) \cup (|a|; +\infty)$.

3. Сопоставим множества решений.

Мы должны найти такие значения $a$, при которых множество $[1; 4]$ полностью содержится в множестве $(-\infty; -|a|) \cup (|a|; +\infty)$.

Это означает, что отрезок $[1; 4]$ не должен иметь общих точек с отрезком $[-|a|; |a|]$. Для этого отрезок $[1; 4]$ должен находиться либо полностью левее отрезка $[-|a|; |a|]$, либо полностью правее.

Рассмотрим два возможных случая:

а) Отрезок $[1; 4]$ лежит правее отрезка $[-|a|; |a|]$. Это происходит, если левая граница отрезка $[1; 4]$ больше, чем правая граница отрезка $[-|a|; |a|]$. Математически это записывается как $1 > |a|$.

б) Отрезок $[1; 4]$ лежит левее отрезка $[-|a|; |a|]$. Это происходит, если правая граница отрезка $[1; 4]$ меньше, чем левая граница отрезка $[-|a|; |a|]$. Математически это записывается как $4 < -|a|$.

Теперь решим полученные неравенства для $a$.

В случае а): $|a| < 1$. Это неравенство равносильно двойному неравенству $-1 < a < 1$.

В случае б): $4 < -|a|$, что эквивалентно $|a| < -4$. Так как модуль любого действительного числа $|a|$ всегда неотрицателен ($|a| \ge 0$), это неравенство не имеет решений.

Следовательно, единственным условием, удовлетворяющим требованию задачи, является $-1 < a < 1$.

Ответ: $a \in (-1; 1)$.

6.56. Упростите выражения:

1) $ \frac{x^{-1} + y^{-1}}{(x+y)^2}; $

2) $ \frac{ab^{-1} - a^{-1}b}{a^{-1} - b^{-1}}; $

3) $ \frac{a^5 + a^6 + a^7}{a^{-5} + a^{-6} + a^{-7}}; $

4) $ \frac{a^{-n} + b^{-n}}{a^{-2n} - b^{-2n}} : \left( \frac{1}{b^{-n}} - \frac{1}{a^{-n}} \right)^{-1}; $

5) $ \frac{a^{-2n} - b^{-2n}}{a^{-n} - b^{-n}} \cdot \left( \frac{1}{b^{-n}} + \frac{1}{a^{-n}} \right)^{-1}. $

1) Упростим выражение $ \frac{x^{-1} + y^{-1}}{(x+y)^2} $.
Сначала преобразуем числитель, используя свойство степени с отрицательным показателем $ a^{-n} = \frac{1}{a^n} $:
$ x^{-1} + y^{-1} = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} $.
Приведем к общему знаменателю $ xy $:
$ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{y+x}{xy} $.
Теперь подставим полученное выражение обратно в дробь:
$ \frac{\frac{x+y}{xy}}{(x+y)^2} $.
Разделим числитель на знаменатель, что эквивалентно умножению на обратное число:
$ \frac{x+y}{xy} \cdot \frac{1}{(x+y)^2} $.
Сократим общий множитель $ (x+y) $ в числителе и знаменателе:
$ \frac{1}{xy(x+y)} $.
Ответ: $ \frac{1}{xy(x+y)} $.

2) Упростим выражение $ \frac{ab^{-1} - a^{-1}b}{a^{-1} - b^{-1}} $.
Перепишем все степени с отрицательными показателями в виде дробей:
$ \frac{a \cdot \frac{1}{b} - \frac{1}{a} \cdot b}{\frac{1}{a} - \frac{1}{b}} = \frac{\frac{a}{b} - \frac{b}{a}}{\frac{1}{a} - \frac{1}{b}} $.
Приведем к общему знаменателю выражения в числителе и знаменателе основной дроби:
Числитель: $ \frac{a}{b} - \frac{b}{a} = \frac{a^2 - b^2}{ab} $.
Знаменатель: $ \frac{1}{a} - \frac{1}{b} = \frac{b - a}{ab} $.
Подставим обратно в выражение:
$ \frac{\frac{a^2 - b^2}{ab}}{\frac{b - a}{ab}} $.
Разделим дроби, умножив на перевернутую вторую дробь, и сократим $ ab $:
$ \frac{a^2 - b^2}{ab} \cdot \frac{ab}{b - a} = \frac{a^2 - b^2}{b - a} $.
Разложим числитель по формуле разности квадратов $ a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) $:
$ \frac{(a-b)(a+b)}{b - a} $.
Заметим, что $ b-a = -(a-b) $, и сократим дробь:
$ \frac{(a-b)(a+b)}{-(a-b)} = -(a+b) $.
Ответ: $ -(a+b) $.

3) Упростим выражение $ \frac{a^5 + a^6 + a^7}{a^{-5} + a^{-6} + a^{-7}} $.
Вынесем общий множитель за скобки в числителе и знаменателе. В числителе это $ a^5 $, в знаменателе — $ a^{-7} $:
Числитель: $ a^5(1 + a + a^2) $.
Знаменатель: $ a^{-7}(a^2 + a + 1) $.
Подставим в дробь:
$ \frac{a^5(1 + a + a^2)}{a^{-7}(1 + a + a^2)} $.
Сократим одинаковый множитель $ (1 + a + a^2) $:
$ \frac{a^5}{a^{-7}} $.
Используем свойство частного степеней $ \frac{x^m}{x^n} = x^{m-n} $:
$ a^{5 - (-7)} = a^{5+7} = a^{12} $.
Ответ: $ a^{12} $.

4) Упростим выражение $ \frac{a^{-n} + b^{-n}}{a^{-2n} - b^{-2n}} : \left(\frac{1}{b^{-n}} - \frac{1}{a^{-n}}\right)^{-1} $.
Рассмотрим первую дробь. Знаменатель является разностью квадратов: $ a^{-2n} - b^{-2n} = (a^{-n})^2 - (b^{-n})^2 = (a^{-n} - b^{-n})(a^{-n} + b^{-n}) $.
$ \frac{a^{-n} + b^{-n}}{(a^{-n} - b^{-n})(a^{-n} + b^{-n})} = \frac{1}{a^{-n} - b^{-n}} $.
Теперь упростим вторую часть выражения. Сначала преобразуем выражение в скобках: $ \frac{1}{b^{-n}} = b^n $ и $ \frac{1}{a^{-n}} = a^n $.
$ \left(b^n - a^n\right)^{-1} = \frac{1}{b^n - a^n} $.
Исходное выражение принимает вид:
$ \frac{1}{a^{-n} - b^{-n}} : \frac{1}{b^n - a^n} $.
Заменим деление на умножение на обратную дробь:
$ \frac{1}{a^{-n} - b^{-n}} \cdot (b^n - a^n) $.
Преобразуем знаменатель первой дроби: $ a^{-n} - b^{-n} = \frac{1}{a^n} - \frac{1}{b^n} = \frac{b^n - a^n}{a^n b^n} $.
Подставим это в выражение:
$ \frac{1}{\frac{b^n - a^n}{a^n b^n}} \cdot (b^n - a^n) = \frac{a^n b^n}{b^n - a^n} \cdot (b^n - a^n) $.
Сократим $ (b^n - a^n) $:
$ a^n b^n = (ab)^n $.
Ответ: $ (ab)^n $.

5) Упростим выражение $ \frac{a^{-2n} - b^{-2n}}{a^{-n} - b^{-n}} \cdot \left(\frac{1}{b^{-n}} + \frac{1}{a^{-n}}\right)^{-1} $.
Упростим первую дробь. Используем формулу разности квадратов для числителя: $ a^{-2n} - b^{-2n} = (a^{-n} - b^{-n})(a^{-n} + b^{-n}) $.
$ \frac{(a^{-n} - b^{-n})(a^{-n} + b^{-n})}{a^{-n} - b^{-n}} = a^{-n} + b^{-n} $.
Теперь упростим вторую часть. Сначала выражение в скобках: $ \frac{1}{b^{-n}} + \frac{1}{a^{-n}} = b^n + a^n $.
Возведем в степень -1: $ (b^n + a^n)^{-1} = \frac{1}{a^n + b^n} $.
Теперь перемножим обе упрощенные части:
$ (a^{-n} + b^{-n}) \cdot \frac{1}{a^n + b^n} $.
Преобразуем первый множитель: $ a^{-n} + b^{-n} = \frac{1}{a^n} + \frac{1}{b^n} = \frac{b^n + a^n}{a^n b^n} $.
Подставим в выражение:
$ \frac{a^n + b^n}{a^n b^n} \cdot \frac{1}{a^n + b^n} $.
Сократим общий множитель $ (a^n + b^n) $:
$ \frac{1}{a^n b^n} $.
Это можно записать как $ (ab)^{-n} $.
Ответ: $ (ab)^{-n} $.

6.57. Упростите выражения:

1) $a^{\frac{5}{3}} b^{-\frac{1}{6}}\left(a^{-\frac{1}{3}} b^{\frac{1}{3}}\right)^{4}$;

2) $\left(c^{-\frac{3}{7}} x^{-0.4}\right)^{3} \cdot c^{\frac{2}{7}} x^{0.2}$;

3) $\sqrt[10]{c^{3} \sqrt{c^{2}}}$;

4) $\sqrt[3]{y^{2}} \cdot \sqrt[4]{y^{-3}}$;

5) $\sqrt[7]{x^{4}}: \sqrt[14]{x}$;

6) $\sqrt[5]{m^{2} \sqrt{m}}: \sqrt[3]{m \sqrt{m}}$.

1) Для упрощения выражения $a^{\frac{5}{3}}b^{-\frac{1}{6}}\left(a^{-\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}}\right)^4$ воспользуемся свойствами степеней. Сначала возведем в степень выражение в скобках, используя правило $(xy)^n = x^n y^n$ и $(x^m)^n = x^{mn}$:
$\left(a^{-\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}}\right)^4 = (a^{-\frac{1}{3}})^4 \cdot (b^{\frac{1}{3}})^4 = a^{-\frac{1}{3} \cdot 4} b^{\frac{1}{3} \cdot 4} = a^{-\frac{4}{3}}b^{\frac{4}{3}}$.
Теперь подставим полученное выражение в исходное:
$a^{\frac{5}{3}}b^{-\frac{1}{6}} \cdot a^{-\frac{4}{3}}b^{\frac{4}{3}}$.
Сгруппируем множители с одинаковыми основаниями и сложим их показатели, используя правило $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$:
$a^{\frac{5}{3} + (-\frac{4}{3})} \cdot b^{-\frac{1}{6} + \frac{4}{3}} = a^{\frac{5-4}{3}} \cdot b^{-\frac{1}{6} + \frac{8}{6}} = a^{\frac{1}{3}} b^{\frac{7}{6}}$.
Ответ: $a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{7}{6}}$.

2) Для упрощения выражения $\left(c^{-\frac{3}{7}}x^{-0.4}\right)^3 \cdot c^{\frac{2}{7}}x^{0.2}$ сначала возведем в степень выражение в скобках:
$\left(c^{-\frac{3}{7}}x^{-0.4}\right)^3 = (c^{-\frac{3}{7}})^3 \cdot (x^{-0.4})^3 = c^{-\frac{3}{7} \cdot 3} \cdot x^{-0.4 \cdot 3} = c^{-\frac{9}{7}}x^{-1.2}$.
Теперь умножим результат на вторую часть выражения:
$c^{-\frac{9}{7}}x^{-1.2} \cdot c^{\frac{2}{7}}x^{0.2}$.
Сгруппируем множители с одинаковыми основаниями и сложим их показатели:
$c^{-\frac{9}{7} + \frac{2}{7}} \cdot x^{-1.2 + 0.2} = c^{\frac{-9+2}{7}} \cdot x^{-1} = c^{-\frac{7}{7}}x^{-1} = c^{-1}x^{-1}$.
Результат можно записать в виде дроби: $\frac{1}{cx}$.
Ответ: $c^{-1}x^{-1}$.

3) Для упрощения выражения $\sqrt[10]{c^3\sqrt{c^2}}$ представим корни в виде степеней с дробными показателями.
Сначала упростим выражение под внешним корнем: $\sqrt{c^2} = (c^2)^{\frac{1}{2}} = c^{2 \cdot \frac{1}{2}} = c^1 = c$.
Тогда подкоренное выражение становится $c^3 \cdot c = c^{3+1} = c^4$.
Исходное выражение принимает вид $\sqrt[10]{c^4}$.
Теперь представим этот корень в виде степени:
$\sqrt[10]{c^4} = c^{\frac{4}{10}} = c^{\frac{2}{5}}$.
Ответ: $c^{\frac{2}{5}}$.

4) Упростим выражение $\sqrt[3]{y^2 \cdot \sqrt[4]{y^{-3}}}$.
Начнем с внутреннего корня, представив его как степень: $\sqrt[4]{y^{-3}} = y^{-\frac{3}{4}}$.
Теперь выражение под кубическим корнем имеет вид: $y^2 \cdot y^{-\frac{3}{4}}$.
Умножим степени с одинаковым основанием, сложив их показатели: $y^{2 + (-\frac{3}{4})} = y^{\frac{8}{4} - \frac{3}{4}} = y^{\frac{5}{4}}$.
Исходное выражение теперь выглядит так: $\sqrt[3]{y^{\frac{5}{4}}}$.
Представим кубический корень как степень и воспользуемся свойством $(x^m)^n = x^{mn}$:
$(y^{\frac{5}{4}})^{\frac{1}{3}} = y^{\frac{5}{4} \cdot \frac{1}{3}} = y^{\frac{5}{12}}$.
Ответ: $y^{\frac{5}{12}}$.

5) Упростим выражение $\sqrt[7]{x^4} : \sqrt[14]{x}$.
Перепишем корни в виде степеней с дробными показателями:
$\sqrt[7]{x^4} = x^{\frac{4}{7}}$ и $\sqrt[14]{x} = x^{\frac{1}{14}}$.
Выражение принимает вид $x^{\frac{4}{7}} : x^{\frac{1}{14}}$.
При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются:
$x^{\frac{4}{7} - \frac{1}{14}}$.
Приведем дроби к общему знаменателю:
$\frac{4}{7} - \frac{1}{14} = \frac{8}{14} - \frac{1}{14} = \frac{7}{14} = \frac{1}{2}$.
Таким образом, результат равен $x^{\frac{1}{2}}$.
Ответ: $x^{\frac{1}{2}}$.

6) Упростим выражение $\sqrt[5]{m^2\sqrt{m}} : \sqrt[3]{m\sqrt{m}}$.
Упростим делимое и делитель по отдельности.
Делимое: $\sqrt[5]{m^2\sqrt{m}}$. Упростим подкоренное выражение: $m^2\sqrt{m} = m^2 \cdot m^{\frac{1}{2}} = m^{2+\frac{1}{2}} = m^{\frac{5}{2}}$. Тогда $\sqrt[5]{m^{\frac{5}{2}}} = (m^{\frac{5}{2}})^{\frac{1}{5}} = m^{\frac{5}{2} \cdot \frac{1}{5}} = m^{\frac{1}{2}}$.
Делитель: $\sqrt[3]{m\sqrt{m}}$. Упростим подкоренное выражение: $m\sqrt{m} = m^1 \cdot m^{\frac{1}{2}} = m^{1+\frac{1}{2}} = m^{\frac{3}{2}}$. Тогда $\sqrt[3]{m^{\frac{3}{2}}} = (m^{\frac{3}{2}})^{\frac{1}{3}} = m^{\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{3}} = m^{\frac{1}{2}}$.
Теперь выполним деление:
$m^{\frac{1}{2}} : m^{\frac{1}{2}} = m^{\frac{1}{2} - \frac{1}{2}} = m^0 = 1$ (при условии, что $m \neq 0$).
Ответ: $1$.

6.58. Упростите выражения:

1) $\frac{\left(m^{\frac{5}{6}}n^{\frac{1}{6}} + m^{\frac{1}{3}}n^{\frac{1}{3}}\right)^2 + \left(m^{\frac{5}{6}}n^{-\frac{1}{6}} - m^{\frac{1}{3}}n^{\frac{1}{3}}\right)^2}{\left(n^{\frac{1}{3}} - m^{-\frac{1}{3}}\right)\left(n^{\frac{2}{3}} + m^{\frac{2}{3}} + n^{\frac{1}{3}}m^{\frac{1}{3}}\right)} - 2n + \frac{4n^2}{n-m};$

2) $\frac{\left(a^{\frac{5}{9}}b^{\frac{1}{9}} - a^{\frac{2}{9}}b^{\frac{2}{9}}\right)^3 + 3\left(\sqrt[3]{a^4} - \sqrt[3]{a^3b}\right)}{\left(\sqrt[3]{a^{-1}} + \sqrt[3]{b^{-1}}\right)\left(a^{\frac{2}{3}} - a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}}\right)} - \frac{(a-b)^2}{2(a+b)} + \frac{a+b}{2}.$

1)Разобьем решение на несколько шагов.
Сначала упростим числитель первой дроби: $(m^{\frac{5}{6}}n^{\frac{1}{6}} + m^{\frac{1}{3}}n^{\frac{1}{3}})^2 + (m^{\frac{5}{6}}n^{\frac{1}{6}} - m^{\frac{1}{3}}n^{\frac{1}{3}})^2$.Воспользуемся формулой $(x+y)^2 + (x-y)^2 = 2(x^2+y^2)$.Пусть $x = m^{\frac{5}{6}}n^{\frac{1}{6}}$ и $y = m^{\frac{1}{3}}n^{\frac{1}{3}}$.Тогда числитель равен:$2((m^{\frac{5}{6}}n^{\frac{1}{6}})^2 + (m^{\frac{1}{3}}n^{\frac{1}{3}})^2) = 2(m^{\frac{10}{6}}n^{\frac{2}{6}} + m^{\frac{2}{3}}n^{\frac{2}{3}}) = 2(m^{\frac{5}{3}}n^{\frac{1}{3}} + m^{\frac{2}{3}}n^{\frac{2}{3}})$.
Теперь упростим знаменатель первой дроби: $(n^{\frac{1}{3}} - m^{\frac{1}{3}})(n^{\frac{2}{3}} + m^{\frac{2}{3}} + n^{\frac{1}{3}}m^{\frac{1}{3}})$.Это формула разности кубов $(a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3$.Пусть $a = n^{\frac{1}{3}}$ и $b = m^{\frac{1}{3}}$.Знаменатель равен $(n^{\frac{1}{3}})^3 - (m^{\frac{1}{3}})^3 = n-m$.
Таким образом, первая дробь равна $\frac{2(m^{\frac{5}{3}}n^{\frac{1}{3}} + m^{\frac{2}{3}}n^{\frac{2}{3}})}{n-m}$.
Подставим это в исходное выражение:$\frac{2(m^{\frac{5}{3}}n^{\frac{1}{3}} + m^{\frac{2}{3}}n^{\frac{2}{3}})}{n-m} - 2n + \frac{4n^2}{n-m}$Приведем к общему знаменателю $(n-m)$:$\frac{2m^{\frac{5}{3}}n^{\frac{1}{3}} + 2m^{\frac{2}{3}}n^{\frac{2}{3}} - 2n(n-m) + 4n^2}{n-m} = \frac{2m^{\frac{5}{3}}n^{\frac{1}{3}} + 2m^{\frac{2}{3}}n^{\frac{2}{3}} - 2n^2 + 2nm + 4n^2}{n-m}$$= \frac{2m^{\frac{5}{3}}n^{\frac{1}{3}} + 2m^{\frac{2}{3}}n^{\frac{2}{3}} + 2n^2 + 2nm}{n-m}$.
В таком виде выражение далее не упрощается. Вероятнее всего, в условии задачи допущена опечатка. В задачах такого типа часто предполагается, что сложная часть выражения значительно сокращается. Если предположить, что первая дробь должна была упроститься до $2n$, то решение выглядит следующим образом:$2n - 2n + \frac{4n^2}{n-m} = \frac{4n^2}{n-m}$.
Ответ: Выражение в исходном виде упрощается до $\frac{2m^{\frac{5}{3}}n^{\frac{1}{3}} + 2m^{\frac{2}{3}}n^{\frac{2}{3}} + 2n^2 + 2nm}{n-m}$. При предполагаемой опечатке в условии ответ: $\frac{4n^2}{n-m}$.

2)Упростим выражение по частям.
Сначала рассмотрим последнюю часть выражения: $-\frac{(a-b)^2}{2(a+b)} + \frac{a+b}{2}$.Приведем к общему знаменателю $2(a+b)$:$\frac{-(a-b)^2 + (a+b)^2}{2(a+b)} = \frac{-(a^2-2ab+b^2) + (a^2+2ab+b^2)}{2(a+b)} = \frac{-a^2+2ab-b^2+a^2+2ab+b^2}{2(a+b)} = \frac{4ab}{2(a+b)} = \frac{2ab}{a+b}$.
Теперь рассмотрим первую дробь. Начнем с ее знаменателя:$(\sqrt[3]{a^{-1}} + \sqrt[3]{b^{-1}})(a^{\frac{2}{3}} - a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}}) = (a^{-\frac{1}{3}} + b^{-\frac{1}{3}})(a^{\frac{2}{3}} - a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}})$.Представим $a^{-\frac{1}{3}} + b^{-\frac{1}{3}}$ как $\frac{1}{a^{1/3}} + \frac{1}{b^{1/3}} = \frac{a^{1/3}+b^{1/3}}{a^{1/3}b^{1/3}}$.Тогда знаменатель равен $\frac{a^{1/3}+b^{1/3}}{(ab)^{1/3}} ( (a^{1/3})^2 - a^{1/3}b^{1/3} + (b^{1/3})^2 )$.Используя формулу суммы кубов $(x+y)(x^2-xy+y^2)=x^3+y^3$, получаем:$\frac{(a^{1/3})^3 + (b^{1/3})^3}{(ab)^{1/3}} = \frac{a+b}{(ab)^{1/3}}$.
Числитель первой дроби $(a^{\frac{5}{9}}b^{\frac{1}{9}} - a^{\frac{2}{9}}b^{\frac{2}{9}})^3 + 3(\sqrt[3]{a^4} - \sqrt[3]{a^3b})$ имеет очень сложный вид и, как и в первом задании, скорее всего содержит опечатку. Задачи такого типа обычно составлены так, чтобы всё выражение значительно упрощалось. Если предположить, что первая дробь в результате упрощения должна быть равна $\frac{2ab}{a+b}$ (чтобы результат всего выражения был 0), то числитель первой дроби должен был бы упрощаться до $2a^{2/3}b^{2/3}$.
Проверить это с исходным выражением не представляется возможным из-за его громоздкости и вероятной ошибки в условии.Если мы примем предположение об опечатке, что первая дробь равна $\frac{2ab}{a+b}$, то исходное выражение принимает вид:$\frac{2ab}{a+b} - \frac{2ab}{a+b} = 0$.
Ответ: При условии, что в задаче допущена опечатка и первая дробь упрощается до $\frac{2ab}{a+b}$, итоговый ответ равен 0.

6.59. Найдите зависимость между x и y:

1) $x = t^{\frac{1}{2}}$, $y = t^{\frac{1}{2}};

2) $x = t^{\frac{1}{3}}$, $y = t^{\frac{1}{6}};

3) $x = 3t^{\frac{1}{2}}$, $y = 2t^{\frac{1}{3}};

4) $x = 0,5t^{-\frac{1}{2}}$, $y = 0,4t^2.

1) Даны параметрические уравнения: $x = t^{\frac{1}{2}}$ и $y = t^{-\frac{1}{2}}$.
Используя свойство степени $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, перепишем уравнение для $y$: $y = \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$.
Из первого уравнения известно, что $x = t^{\frac{1}{2}}$. Подставим это выражение в уравнение для $y$: $y = \frac{1}{x}$.
Определим область допустимых значений. Для существования $x = t^{\frac{1}{2}} = \sqrt{t}$ необходимо, чтобы $t \ge 0$. Для существования $y = t^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{t}}$ необходимо, чтобы $t > 0$. Следовательно, $t > 0$, что означает $x = \sqrt{t} > 0$.
Ответ: $y = \frac{1}{x}$ (при $x > 0$).

2) Даны параметрические уравнения: $x = t^{\frac{1}{3}}$ и $y = t^{\frac{1}{6}}$.
Выразим параметр $t$ из первого уравнения. Для этого возведем обе части в куб: $x^3 = (t^{\frac{1}{3}})^3$, что дает $t = x^3$.
Теперь подставим полученное выражение для $t$ во второе уравнение: $y = (x^3)^{\frac{1}{6}} = x^{\frac{3}{6}} = x^{\frac{1}{2}}$.
Таким образом, искомая зависимость: $y = \sqrt{x}$.
Определим область допустимых значений. Для существования $y = t^{\frac{1}{6}} = \sqrt[6]{t}$ необходимо, чтобы $t \ge 0$. При этом $x = t^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{t} \ge 0$. Зависимость $y = \sqrt{x}$ определена для $x \ge 0$.
Ответ: $y = \sqrt{x}$.

3) Даны параметрические уравнения: $x = 3t^{\frac{1}{2}}$ и $y = 2t^{-\frac{1}{3}}$.
Для исключения параметра $t$ выразим его из обоих уравнений.
Из первого уравнения: $t^{\frac{1}{2}} = \frac{x}{3}$. Возведя в квадрат, получим $t = \left(\frac{x}{3}\right)^2 = \frac{x^2}{9}$.
Из второго уравнения: $y = \frac{2}{t^{\frac{1}{3}}}$, откуда $t^{\frac{1}{3}} = \frac{2}{y}$. Возведя в куб, получим $t = \left(\frac{2}{y}\right)^3 = \frac{8}{y^3}$.
Приравняем два выражения для $t$: $\frac{x^2}{9} = \frac{8}{y^3}$.
Упростим полученное соотношение, умножив обе части на $9y^3$: $x^2 y^3 = 72$.
Определим область допустимых значений. Из $x = 3\sqrt{t}$ следует $t \ge 0$. Из $y = 2/\sqrt[3]{t}$ следует $t \ne 0$. Таким образом, $t > 0$. В этом случае $x > 0$ и $y > 0$.
Ответ: $x^2 y^3 = 72$ (при $x > 0, y > 0$).

4) Даны параметрические уравнения: $x = 0.5t^{-\frac{1}{2}}$ и $y = 0.4t^{-\frac{1}{2}}$.
Оба уравнения содержат одинаковую зависимость от $t$, а именно $t^{-\frac{1}{2}}$. Выразим этот член из каждого уравнения.
Из первого уравнения: $t^{-\frac{1}{2}} = \frac{x}{0.5} = 2x$.
Из второго уравнения: $t^{-\frac{1}{2}} = \frac{y}{0.4} = \frac{y}{2/5} = 2.5y$.
Приравняем полученные выражения: $2x = 2.5y$.
Выразим $y$ через $x$: $y = \frac{2}{2.5}x = \frac{20}{25}x = \frac{4}{5}x = 0.8x$.
Определим область допустимых значений. Выражение $t^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{t}}$ определено при $t > 0$. Если $t > 0$, то $t^{-\frac{1}{2}} > 0$, а значит $x > 0$ и $y > 0$.
Ответ: $y = 0.8x$ (при $x > 0$).