Страница 197 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.12. Вычислите:

1) $\sqrt{(\sqrt{5}-1)^2} + 1;$

2) $\sqrt{(\sqrt{5}-3)^2} - 3;$

3) $\sqrt{(\sqrt{5}-1)^2} + \sqrt{(\sqrt{5}-3)^2};$

4) $(\sqrt{5}-3) \cdot \sqrt{14+6\sqrt{5}};$

5) $(\sqrt{5}-2) \cdot \sqrt{9+4\sqrt{5}};$

6) $(\sqrt{3}+\sqrt{2}) \cdot \sqrt{5-2\sqrt{6}};$

7) $\frac{1}{\sqrt{2}+1} + \frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}} + \ldots + \frac{1}{\sqrt{99}+\sqrt{100}}.$

1) Вычислим значение выражения $ \sqrt{(\sqrt{5}-1)^2} + 1 $.

Согласно свойству квадратного корня $ \sqrt{a^2} = |a| $, имеем: $ \sqrt{(\sqrt{5}-1)^2} = |\sqrt{5}-1| $.

Поскольку $ \sqrt{5} \approx 2.236 $, то $ \sqrt{5} > 1 $, и, следовательно, выражение $ \sqrt{5}-1 $ положительно.

Таким образом, $ |\sqrt{5}-1| = \sqrt{5}-1 $.

Подставим это обратно в исходное выражение: $ (\sqrt{5}-1) + 1 = \sqrt{5} $.

Ответ: $ \sqrt{5} $

2) Вычислим значение выражения $ \sqrt{(\sqrt{5}-3)^2} - 3 $.

Используем свойство $ \sqrt{a^2} = |a| $: $ \sqrt{(\sqrt{5}-3)^2} = |\sqrt{5}-3| $.

Сравним $ \sqrt{5} $ и $ 3 $. Так как $ 5 < 9 $, то $ \sqrt{5} < \sqrt{9} = 3 $. Следовательно, выражение $ \sqrt{5}-3 $ отрицательно.

По определению модуля, $ |\sqrt{5}-3| = -(\sqrt{5}-3) = 3-\sqrt{5} $.

Подставим это в исходное выражение: $ (3-\sqrt{5}) - 3 = -\sqrt{5} $.

Ответ: $ -\sqrt{5} $

3) Вычислим значение выражения $ \sqrt{(\sqrt{5}-1)^2} + \sqrt{(\sqrt{5}-3)^2} $.

Это выражение является суммой модулей, которые мы нашли в предыдущих двух заданиях.

Из пункта 1) мы знаем, что $ \sqrt{(\sqrt{5}-1)^2} = |\sqrt{5}-1| = \sqrt{5}-1 $.

Из пункта 2) мы знаем, что $ \sqrt{(\sqrt{5}-3)^2} = |\sqrt{5}-3| = 3-\sqrt{5} $.

Сложим эти два результата: $ (\sqrt{5}-1) + (3-\sqrt{5}) = \sqrt{5}-1+3-\sqrt{5} = 2 $.

Ответ: $ 2 $

4) Вычислим значение выражения $ (\sqrt{5}-3) \cdot \sqrt{14+6\sqrt{5}} $.

Упростим выражение под корнем $ 14+6\sqrt{5} $, представив его в виде квадрата суммы по формуле $ (a+b)^2 = a^2+2ab+b^2 $.

Заметим, что $ 14+6\sqrt{5} = 9 + 5 + 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{5} = 3^2 + (\sqrt{5})^2 + 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{5} = (3+\sqrt{5})^2 $.

Тогда $ \sqrt{14+6\sqrt{5}} = \sqrt{(3+\sqrt{5})^2} = |3+\sqrt{5}| = 3+\sqrt{5} $, так как $ 3+\sqrt{5} > 0 $.

Теперь исходное выражение принимает вид: $ (\sqrt{5}-3) \cdot (3+\sqrt{5}) $.

Используем формулу разности квадратов $ (x-y)(x+y)=x^2-y^2 $: $ (\sqrt{5}-3)(\sqrt{5}+3) = (\sqrt{5})^2 - 3^2 = 5-9 = -4 $.

Ответ: $ -4 $

5) Вычислим значение выражения $ (\sqrt{5}-2) \cdot \sqrt{9+4\sqrt{5}} $.

Упростим выражение под корнем $ 9+4\sqrt{5} $, представив его в виде квадрата суммы.

Заметим, что $ 9+4\sqrt{5} = 5 + 4 + 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{5} = (\sqrt{5})^2 + 2^2 + 2 \cdot \sqrt{5} \cdot 2 = (\sqrt{5}+2)^2 $.

Тогда $ \sqrt{9+4\sqrt{5}} = \sqrt{(\sqrt{5}+2)^2} = |\sqrt{5}+2| = \sqrt{5}+2 $, так как $ \sqrt{5}+2 > 0 $.

Исходное выражение принимает вид: $ (\sqrt{5}-2) \cdot (\sqrt{5}+2) $.

По формуле разности квадратов: $ (\sqrt{5}-2)(\sqrt{5}+2) = (\sqrt{5})^2 - 2^2 = 5-4 = 1 $.

Ответ: $ 1 $

6) Вычислим значение выражения $ (\sqrt{3}+\sqrt{2}) \cdot \sqrt{5-2\sqrt{6}} $.

Упростим выражение под корнем $ 5-2\sqrt{6} $, представив его в виде квадрата разности по формуле $ (a-b)^2 = a^2-2ab+b^2 $.

Заметим, что $ 5-2\sqrt{6} = 3 + 2 - 2 \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{2} = (\sqrt{3})^2 + (\sqrt{2})^2 - 2\sqrt{3}\sqrt{2} = (\sqrt{3}-\sqrt{2})^2 $.

Тогда $ \sqrt{5-2\sqrt{6}} = \sqrt{(\sqrt{3}-\sqrt{2})^2} = |\sqrt{3}-\sqrt{2}| $.

Так как $ 3>2 $, то $ \sqrt{3}>\sqrt{2} $, поэтому $ \sqrt{3}-\sqrt{2} > 0 $. Следовательно, $ |\sqrt{3}-\sqrt{2}| = \sqrt{3}-\sqrt{2} $.

Исходное выражение принимает вид: $ (\sqrt{3}+\sqrt{2}) \cdot (\sqrt{3}-\sqrt{2}) $.

По формуле разности квадратов: $ (\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2 = 3-2 = 1 $.

Ответ: $ 1 $

7) Вычислим сумму $ \frac{1}{\sqrt{2}+1} + \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{3}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{100}+\sqrt{99}} $.

Данная сумма является телескопической. Упростим общий член ряда $ \frac{1}{\sqrt{k+1}+\sqrt{k}} $ для $ k=1, 2, \dots, 99 $.

Для этого домножим числитель и знаменатель дроби на сопряженное к знаменателю выражение $ \sqrt{k+1}-\sqrt{k} $:

$ \frac{1}{\sqrt{k+1}+\sqrt{k}} = \frac{1 \cdot (\sqrt{k+1}-\sqrt{k})}{(\sqrt{k+1}+\sqrt{k})(\sqrt{k+1}-\sqrt{k})} = \frac{\sqrt{k+1}-\sqrt{k}}{(\sqrt{k+1})^2 - (\sqrt{k})^2} = \frac{\sqrt{k+1}-\sqrt{k}}{k+1-k} = \sqrt{k+1}-\sqrt{k} $.

Теперь вся сумма принимает вид:

$ (\sqrt{2}-\sqrt{1}) + (\sqrt{3}-\sqrt{2}) + (\sqrt{4}-\sqrt{3}) + \dots + (\sqrt{100}-\sqrt{99}) $.

Раскрыв скобки, мы видим, что большинство слагаемых взаимно уничтожаются: $ \sqrt{2} $ и $ -\sqrt{2} $, $ \sqrt{3} $ и $ -\sqrt{3} $, и так далее до $ \sqrt{99} $ и $ -\sqrt{99} $.

В сумме остаются только первый член из первой разности $ (-\sqrt{1}) $ и последний член из последней разности $ (\sqrt{100}) $.

Таким образом, сумма равна $ \sqrt{100} - \sqrt{1} $.

Вычислим результат: $ 10 - 1 = 9 $.

Ответ: $ 9 $

6.13. Сравните числа:

1) $\sqrt{0,63}$ и $\sqrt{0,83}$;

2) $\sqrt[3]{0,63}$ и $\sqrt[3]{0,63}$;

3) $\sqrt{1,63}$ и $\sqrt[3]{1,63}$;

4) $\sqrt{2}$ и $\sqrt[3]{3}$.

1) Для сравнения чисел $\sqrt{0,63}$ и $\sqrt{0,83}$ воспользуемся свойством монотонного возрастания функции $y=\sqrt{x}$ на области определения $x \ge 0$. Это свойство означает, что для неотрицательных чисел большему подкоренному выражению соответствует большее значение корня. Сравним подкоренные выражения: $0,63$ и $0,83$. Поскольку $0,63 < 0,83$, то и $\sqrt{0,63} < \sqrt{0,83}$.
Ответ: $\sqrt{0,63} < \sqrt{0,83}$.

2) Требуется сравнить числа $\sqrt[3]{0,63}$ и $\sqrt[3]{0,63}$. Данные выражения являются абсолютно одинаковыми. Любое число равно самому себе, следовательно, $\sqrt[3]{0,63} = \sqrt[3]{0,63}$.
Ответ: $\sqrt[3]{0,63} = \sqrt[3]{0,63}$.

3) Чтобы сравнить числа $\sqrt{1,63}$ и $\sqrt[3]{1,63}$, которые имеют разные показатели корня, можно возвести их в степень, равную наименьшему общему кратному показателей корней. Наименьшее общее кратное для 2 и 3 равно 6. Так как оба числа положительны, при возведении в положительную степень знак неравенства между ними сохранится.
Возведем первое число в 6-ю степень: $(\sqrt{1,63})^6 = ((1,63)^{1/2})^6 = (1,63)^{6/2} = (1,63)^3$.
Возведем второе число в 6-ю степень: $(\sqrt[3]{1,63})^6 = ((1,63)^{1/3})^6 = (1,63)^{6/3} = (1,63)^2$.
Теперь сравним результаты: $(1,63)^3$ и $(1,63)^2$. Для степеней с основанием больше 1 ($1,63 > 1$) большим является то число, у которого показатель степени больше. Так как $3 > 2$, то $(1,63)^3 > (1,63)^2$.
Следовательно, $\sqrt{1,63} > \sqrt[3]{1,63}$.
Ответ: $\sqrt{1,63} > \sqrt[3]{1,63}$.

4) Для сравнения чисел $\sqrt{2}$ и $\sqrt[3]{3}$ с разными показателями корней и разными подкоренными выражениями, приведем их к общему показателю корня. Наименьшее общее кратное для показателей 2 и 3 равно 6.
Приведем $\sqrt{2}$ к корню 6-й степени: $\sqrt{2} = 2^{1/2} = 2^{3/6} = \sqrt[6]{2^3} = \sqrt[6]{8}$.
Приведем $\sqrt[3]{3}$ к корню 6-й степени: $\sqrt[3]{3} = 3^{1/3} = 3^{2/6} = \sqrt[6]{3^2} = \sqrt[6]{9}$.
Теперь сравним полученные выражения: $\sqrt[6]{8}$ и $\sqrt[6]{9}$. Так как функция $y=\sqrt[6]{x}$ является возрастающей, а подкоренное выражение $8 < 9$, то $\sqrt[6]{8} < \sqrt[6]{9}$.
Таким образом, $\sqrt{2} < \sqrt[3]{3}$.
Ответ: $\sqrt{2} < \sqrt[3]{3}$.

6.14. Покажите иррациональность числа:

1) $\sqrt{2}$

2) $\sqrt{3}$

3) $\sqrt{5}$

1)

Для доказательства иррациональности числа $\sqrt{2}$ воспользуемся методом доказательства от противного. Предположим, что число $\sqrt{2}$ является рациональным. Это означает, что его можно представить в виде несократимой дроби $\frac{m}{n}$, где $m$ - целое число, а $n$ - натуральное число ($m \in \mathbb{Z}, n \in \mathbb{N}$), и их наибольший общий делитель равен 1 (НОД$(m, n) = 1$).

Итак, пусть $\sqrt{2} = \frac{m}{n}$. Возведем обе части равенства в квадрат: $(\sqrt{2})^2 = (\frac{m}{n})^2$ $2 = \frac{m^2}{n^2}$ Отсюда следует, что $m^2 = 2n^2$.

Из этого равенства видно, что $m^2$ является четным числом, так как оно равно произведению 2 на целое число $n^2$. Если квадрат числа ($m^2$) является четным, то и само число ($m$) также должно быть четным, поскольку квадрат нечетного числа всегда нечетен ($(2k+1)^2 = 4k^2+4k+1 = 2(2k^2+2k)+1$). Раз $m$ - четное число, его можно представить в виде $m = 2k$, где $k$ - некоторое целое число.

Подставим это выражение для $m$ в уравнение $m^2 = 2n^2$: $(2k)^2 = 2n^2$ $4k^2 = 2n^2$ Разделим обе части на 2: $2k^2 = n^2$.

Из последнего равенства следует, что $n^2$ также является четным числом. Следовательно, и само число $n$ является четным. Таким образом, мы получили, что и числитель $m$, и знаменатель $n$ являются четными числами. Это означает, что они оба делятся на 2, и их общий делитель равен как минимум 2. Но это противоречит нашему первоначальному предположению, что дробь $\frac{m}{n}$ является несократимой (то есть $m$ и $n$ не имеют общих делителей, кроме 1).

Полученное противоречие означает, что наше исходное предположение о том, что $\sqrt{2}$ - рациональное число, было неверным. Следовательно, число $\sqrt{2}$ иррационально, что и требовалось доказать.

Ответ: доказано, что число $\sqrt{2}$ является иррациональным.

2)

Докажем иррациональность числа $\sqrt{3}$ методом от противного. Предположим, что $\sqrt{3}$ - рациональное число. Тогда его можно представить в виде несократимой дроби $\frac{m}{n}$, где $m \in \mathbb{Z}$, $n \in \mathbb{N}$ и НОД$(m, n) = 1$.

Запишем равенство: $\sqrt{3} = \frac{m}{n}$. Возведем обе части в квадрат: $3 = \frac{m^2}{n^2}$ $m^2 = 3n^2$.

Из этого равенства следует, что $m^2$ делится на 3. Так как 3 - простое число, то если $m^2$ делится на 3, то и само число $m$ должно делиться на 3. Следовательно, $m$ можно представить в виде $m = 3k$ для некоторого целого $k$.

Подставим $m = 3k$ в уравнение $m^2 = 3n^2$: $(3k)^2 = 3n^2$ $9k^2 = 3n^2$ Разделим обе части на 3: $3k^2 = n^2$.

Это равенство показывает, что $n^2$ делится на 3. А значит, и само число $n$ делится на 3. Таким образом, мы выяснили, что и $m$, и $n$ делятся на 3. Это противоречит нашему исходному предположению о том, что дробь $\frac{m}{n}$ является несократимой.

Следовательно, наше предположение о рациональности $\sqrt{3}$ неверно. Число $\sqrt{3}$ иррационально, что и требовалось доказать.

Ответ: доказано, что число $\sqrt{3}$ является иррациональным.

3)

Докажем иррациональность числа $\sqrt{5}$ методом от противного. Предположим, что $\sqrt{5}$ - рациональное число, то есть $\sqrt{5} = \frac{m}{n}$, где $\frac{m}{n}$ - несократимая дробь ($m \in \mathbb{Z}$, $n \in \mathbb{N}$, НОД$(m, n) = 1$).

Возведем обе части равенства в квадрат: $5 = \frac{m^2}{n^2}$ $m^2 = 5n^2$.

Отсюда следует, что $m^2$ делится на 5. Поскольку 5 - простое число, то и $m$ должно делиться на 5. Значит, $m$ можно представить в виде $m = 5k$ для некоторого целого $k$.

Подставим это выражение в уравнение $m^2 = 5n^2$: $(5k)^2 = 5n^2$ $25k^2 = 5n^2$ Разделим обе части на 5: $5k^2 = n^2$.

Из этого равенства следует, что $n^2$ делится на 5, а значит и само число $n$ делится на 5. Мы получили, что и $m$, и $n$ делятся на 5, что противоречит условию несократимости дроби $\frac{m}{n}$.

Следовательно, наше первоначальное предположение было неверным. Число $\sqrt{5}$ является иррациональным, что и требовалось доказать.

Ответ: доказано, что число $\sqrt{5}$ является иррациональным.

6.15. Постройте график функции:

1) $y = \sqrt{x}$;

2) $y = \sqrt{x^2}$;

3) $y = (\sqrt{x})^2$.

1) $y = \sqrt{x}$

Функция $y = \sqrt{x}$ определена для всех неотрицательных значений аргумента $x$, так как арифметический квадратный корень извлекается только из неотрицательных чисел.
Область определения функции: $D(y) = [0, +\infty)$.
Область значений функции: $E(y) = [0, +\infty)$.
Графиком функции является верхняя ветвь параболы $x = y^2$. Он начинается в точке (0, 0) и плавно поднимается, проходя через точки (1, 1), (4, 2) и т.д.

Ответ: График функции $y = \sqrt{x}$ — ветвь параболы, выходящая из начала координат и расположенная в первой координатной четверти. См. график выше.

2) $y = \sqrt{x^2}$

Выражение под корнем, $x^2$, является неотрицательным для любого действительного числа $x$. Следовательно, функция определена на всей числовой оси.
Область определения функции: $D(y) = (-\infty, +\infty)$.
По определению, $\sqrt{a^2} = |a|$, поэтому функцию можно упростить до $y = |x|$.
График этой функции, известной как "модуль $x$", состоит из двух лучей, исходящих из начала координат:

• $y = x$ при $x \ge 0$ (биссектриса I координатной четверти).
• $y = -x$ при $x < 0$ (биссектриса II координатной четверти).

Ответ: График функции $y = \sqrt{x^2}$, тождественно равной $y=|x|$, представляет собой "галочку" с вершиной в начале координат. См. график выше.

3) $y = (\sqrt{x})^2$

В данной функции сначала необходимо вычислить $\sqrt{x}$, что возможно только при $x \ge 0$. Таким образом, несмотря на последующее возведение в квадрат, область определения ограничена.
Область определения функции: $D(y) = [0, +\infty)$.
Для всех $x$ из области определения $(\sqrt{x})^2 = x$. Следовательно, функция тождественно равна $y = x$ при $x \ge 0$.
Графиком функции является луч, исходящий из начала координат, который является биссектрисой первого координатного угла.

Ответ: График функции $y = (\sqrt{x})^2$ — это луч, выходящий из начала координат под углом 45 градусов к оси абсцисс (часть прямой $y=x$ при $x \ge 0$). См. график выше.

6.16. Докажите формулы:

1) $a^2 - b^2 =(a-b)(a+b);$

2) $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2;$

3) $(a-b)^2 = a^2- 2ab + b^2;$

4) $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2);$

5) $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2);$

6) $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3;$

7) $(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3;$

8) $(a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc;$

9) $a^n - 1 = (a - 1)(a^{n-1}+a^{n-2} + \dots +a + 1);$

10) $a^n - b^n = (a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b + \dots +ab^{n-2}+b^{n-1});$

11) $a^{2n+1} + 1 =(a+1) (a^{2n}-a^{2n-1} + \dots -a+1);$

12) $a^{2n+1} + b^{2n+1} = (a+b)(a^{2n}-a^{2n-1}b+\dots-ab^{2n-1}+b^{2n}).$

1) $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b);$

Докажем тождество, раскрыв скобки в правой части равенства, используя правило умножения многочленов (каждый член первого многочлена умножается на каждый член второго):

$(a-b)(a+b) = a \cdot a + a \cdot b - b \cdot a - b \cdot b = a^2 + ab - ab - b^2$

Сокращаем подобные члены $ab$ и $-ab$:

$a^2 + ab - ab - b^2 = a^2 - b^2$

Правая часть равна левой, следовательно, формула верна.

Ответ: Формула доказана.

2) $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2;$

Для доказательства раскроем квадрат суммы в левой части как произведение двух одинаковых скобок:

$(a+b)^2 = (a+b)(a+b) = a \cdot a + a \cdot b + b \cdot a + b \cdot b = a^2 + ab + ab + b^2$

Приводим подобные слагаемые:

$a^2 + 2ab + b^2$

Полученное выражение совпадает с правой частью формулы.

Ответ: Формула доказана.

3) $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2;$

Докажем формулу, раскрыв квадрат разности в левой части:

$(a-b)^2 = (a-b)(a-b) = a \cdot a + a \cdot (-b) - b \cdot a - b \cdot (-b) = a^2 - ab - ab + b^2$

Приводим подобные слагаемые:

$a^2 - 2ab + b^2$

Левая часть тождественно равна правой.

Ответ: Формула доказана.

4) $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2);$

Для доказательства раскроем скобки в правой части выражения:

$(a+b)(a^2-ab+b^2) = a(a^2-ab+b^2) + b(a^2-ab+b^2)$

$= (a^3 - a^2b + ab^2) + (a^2b - ab^2 + b^3)$

Сгруппируем и сократим подобные члены:

$a^3 - a^2b + a^2b + ab^2 - ab^2 + b^3 = a^3 + b^3$

Правая часть равна левой, формула доказана.

Ответ: Формула доказана.

5) $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2);$

Докажем тождество, раскрыв скобки в правой части:

$(a-b)(a^2+ab+b^2) = a(a^2+ab+b^2) - b(a^2+ab+b^2)$

$= (a^3 + a^2b + ab^2) - (a^2b + ab^2 + b^3)$

Раскроем вторые скобки и приведем подобные:

$a^3 + a^2b + ab^2 - a^2b - ab^2 - b^3 = a^3 - b^3$

Получили выражение, стоящее в левой части.

Ответ: Формула доказана.

6) $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3;$

Для доказательства представим куб суммы как произведение квадрата суммы на $(a+b)$ и воспользуемся уже доказанной формулой $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$:

$(a+b)^3 = (a+b)(a+b)^2 = (a+b)(a^2+2ab+b^2)$

Теперь раскроем скобки:

$a(a^2+2ab+b^2) + b(a^2+2ab+b^2) = (a^3 + 2a^2b + ab^2) + (a^2b + 2ab^2 + b^3)$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$a^3 + (2a^2b + a^2b) + (ab^2 + 2ab^2) + b^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$

Левая часть равна правой, формула доказана.

Ответ: Формула доказана.

7) $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3;$

Докажем формулу, представив куб разности как произведение квадрата разности на $(a-b)$ и используя формулу $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$:

$(a-b)^3 = (a-b)(a-b)^2 = (a-b)(a^2-2ab+b^2)$

Раскроем скобки:

$a(a^2-2ab+b^2) - b(a^2-2ab+b^2) = (a^3 - 2a^2b + ab^2) - (a^2b - 2ab^2 + b^3)$

Раскроем вторые скобки и приведем подобные:

$a^3 - 2a^2b + ab^2 - a^2b + 2ab^2 - b^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$

Формула доказана.

Ответ: Формула доказана.

8) $(a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc;$

Для доказательства раскроем квадрат суммы трех слагаемых в левой части как произведение двух одинаковых скобок:

$(a+b+c)^2 = (a+b+c)(a+b+c)$

Умножим каждый член первой скобки на каждый член второй:

$a(a+b+c) + b(a+b+c) + c(a+b+c) = (a^2+ab+ac) + (ba+b^2+bc) + (ca+cb+c^2)$

Сгруппируем слагаемые и приведем подобные:

$a^2+b^2+c^2 + (ab+ba) + (ac+ca) + (bc+cb) = a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc$

Полученное выражение совпадает с правой частью формулы.

Ответ: Формула доказана.

9) $a^n - 1 = (a - 1)(a^{n-1}+a^{n-2} + ... + a + 1);$

Докажем тождество, раскрыв скобки в правой части:

$(a - 1)(a^{n-1}+a^{n-2} + ... + a + 1) = a(a^{n-1}+a^{n-2} + ... + a + 1) - 1(a^{n-1}+a^{n-2} + ... + a + 1)$

Выполним умножение:

$= (a^n + a^{n-1} + a^{n-2} + ... + a^2 + a) - (a^{n-1} + a^{n-2} + ... + a + 1)$

Раскроем скобки и увидим, что все промежуточные члены взаимно уничтожаются:

$a^n + a^{n-1} - a^{n-1} + a^{n-2} - a^{n-2} + ... + a - a - 1 = a^n - 1$

Правая часть равна левой.

Ответ: Формула доказана.

10) $a^n - b^n = (a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+...+ab^{n-2}+b^{n-1});$

Для доказательства раскроем скобки в правой части выражения:

$(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+...+b^{n-1}) = a(a^{n-1}+a^{n-2}b+...+b^{n-1}) - b(a^{n-1}+a^{n-2}b+...+b^{n-1})$

Выполним умножение для каждого слагаемого:

$a(a^{n-1}+a^{n-2}b+...+b^{n-1}) = a^n + a^{n-1}b + a^{n-2}b^2 + ... + ab^{n-1}$

$- b(a^{n-1}+a^{n-2}b+...+b^{n-1}) = - a^{n-1}b - a^{n-2}b^2 - ... - ab^{n-1} - b^n$

Сложим полученные выражения. Все слагаемые вида $a^{n-k}b^k$ для $k$ от 1 до $n-1$ взаимно уничтожаются (например, $a^{n-1}b$ и $-a^{n-1}b$):

$(a^n + a^{n-1}b + ... + ab^{n-1}) + (-a^{n-1}b - ... - ab^{n-1} - b^n) = a^n - b^n$

Правая часть равна левой.

Ответ: Формула доказана.

11) $a^{2n+1} + 1 = (a+1)(a^{2n}-a^{2n-1}+...+a^2-a+1);$

Докажем тождество, раскрыв скобки в правой части. Отметим, что во второй скобке знаки чередуются.

$(a+1)(a^{2n}-a^{2n-1}+...+a^2-a+1) = a(a^{2n}-a^{2n-1}+...) + 1(a^{2n}-a^{2n-1}+...)$

Выполним умножение:

$a(a^{2n}-a^{2n-1}+...+a^2-a+1) = a^{2n+1} - a^{2n} + a^{2n-1} - ... + a^3 - a^2 + a$

$1(a^{2n}-a^{2n-1}+...+a^2-a+1) = a^{2n} - a^{2n-1} + ... - a^3 + a^2 - a + 1$

Сложим полученные выражения. Благодаря чередованию знаков все промежуточные члены сокращаются:

$(a^{2n+1} - a^{2n} + a^{2n-1} - ...) + (a^{2n} - a^{2n-1} + ...) = a^{2n+1} + 1$

Например, $-a^{2n}$ сокращается с $a^{2n}$, $a^{2n-1}$ с $-a^{2n-1}$ и так далее, до $+a$ и $-a$.

Ответ: Формула доказана.

12) $a^{2n+1} + b^{2n+1} = (a+b)(a^{2n}-a^{2n-1}b+...+b^{2n});$

Эта формула является обобщением предыдущей и доказывается аналогично. Раскроем скобки в правой части:

$(a+b)(a^{2n}-a^{2n-1}b+...+b^{2n}) = a(a^{2n}-a^{2n-1}b+...-ab^{2n-1}+b^{2n}) + b(a^{2n}-a^{2n-1}b+...+b^{2n})$

Выполним умножение:

$a(a^{2n}-a^{2n-1}b+...-ab^{2n-1}+b^{2n}) = a^{2n+1} - a^{2n}b + a^{2n-1}b^2 - ... + ab^{2n}$

$b(a^{2n}-a^{2n-1}b+...+b^{2n}) = a^{2n}b - a^{2n-1}b^2 + ... - ab^{2n} + b^{2n+1}$

Сложим полученные выражения. Все промежуточные члены взаимно уничтожаются (например, $-a^{2n}b$ и $a^{2n}b$, $a^{2n-1}b^2$ и $-a^{2n-1}b^2$ и т.д.):

$a^{2n+1} + b^{2n+1}$

Правая часть тождественно равна левой.

Ответ: Формула доказана.