Номер 6.14, страница 197 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.14. Покажите иррациональность числа:

1) $\sqrt{2}$

2) $\sqrt{3}$

3) $\sqrt{5}$

1)

Для доказательства иррациональности числа $\sqrt{2}$ воспользуемся методом доказательства от противного. Предположим, что число $\sqrt{2}$ является рациональным. Это означает, что его можно представить в виде несократимой дроби $\frac{m}{n}$, где $m$ - целое число, а $n$ - натуральное число ($m \in \mathbb{Z}, n \in \mathbb{N}$), и их наибольший общий делитель равен 1 (НОД$(m, n) = 1$).

Итак, пусть $\sqrt{2} = \frac{m}{n}$. Возведем обе части равенства в квадрат: $(\sqrt{2})^2 = (\frac{m}{n})^2$ $2 = \frac{m^2}{n^2}$ Отсюда следует, что $m^2 = 2n^2$.

Из этого равенства видно, что $m^2$ является четным числом, так как оно равно произведению 2 на целое число $n^2$. Если квадрат числа ($m^2$) является четным, то и само число ($m$) также должно быть четным, поскольку квадрат нечетного числа всегда нечетен ($(2k+1)^2 = 4k^2+4k+1 = 2(2k^2+2k)+1$). Раз $m$ - четное число, его можно представить в виде $m = 2k$, где $k$ - некоторое целое число.

Подставим это выражение для $m$ в уравнение $m^2 = 2n^2$: $(2k)^2 = 2n^2$ $4k^2 = 2n^2$ Разделим обе части на 2: $2k^2 = n^2$.

Из последнего равенства следует, что $n^2$ также является четным числом. Следовательно, и само число $n$ является четным. Таким образом, мы получили, что и числитель $m$, и знаменатель $n$ являются четными числами. Это означает, что они оба делятся на 2, и их общий делитель равен как минимум 2. Но это противоречит нашему первоначальному предположению, что дробь $\frac{m}{n}$ является несократимой (то есть $m$ и $n$ не имеют общих делителей, кроме 1).

Полученное противоречие означает, что наше исходное предположение о том, что $\sqrt{2}$ - рациональное число, было неверным. Следовательно, число $\sqrt{2}$ иррационально, что и требовалось доказать.

Ответ: доказано, что число $\sqrt{2}$ является иррациональным.

2)

Докажем иррациональность числа $\sqrt{3}$ методом от противного. Предположим, что $\sqrt{3}$ - рациональное число. Тогда его можно представить в виде несократимой дроби $\frac{m}{n}$, где $m \in \mathbb{Z}$, $n \in \mathbb{N}$ и НОД$(m, n) = 1$.

Запишем равенство: $\sqrt{3} = \frac{m}{n}$. Возведем обе части в квадрат: $3 = \frac{m^2}{n^2}$ $m^2 = 3n^2$.

Из этого равенства следует, что $m^2$ делится на 3. Так как 3 - простое число, то если $m^2$ делится на 3, то и само число $m$ должно делиться на 3. Следовательно, $m$ можно представить в виде $m = 3k$ для некоторого целого $k$.

Подставим $m = 3k$ в уравнение $m^2 = 3n^2$: $(3k)^2 = 3n^2$ $9k^2 = 3n^2$ Разделим обе части на 3: $3k^2 = n^2$.

Это равенство показывает, что $n^2$ делится на 3. А значит, и само число $n$ делится на 3. Таким образом, мы выяснили, что и $m$, и $n$ делятся на 3. Это противоречит нашему исходному предположению о том, что дробь $\frac{m}{n}$ является несократимой.

Следовательно, наше предположение о рациональности $\sqrt{3}$ неверно. Число $\sqrt{3}$ иррационально, что и требовалось доказать.

Ответ: доказано, что число $\sqrt{3}$ является иррациональным.

3)

Докажем иррациональность числа $\sqrt{5}$ методом от противного. Предположим, что $\sqrt{5}$ - рациональное число, то есть $\sqrt{5} = \frac{m}{n}$, где $\frac{m}{n}$ - несократимая дробь ($m \in \mathbb{Z}$, $n \in \mathbb{N}$, НОД$(m, n) = 1$).

Возведем обе части равенства в квадрат: $5 = \frac{m^2}{n^2}$ $m^2 = 5n^2$.

Отсюда следует, что $m^2$ делится на 5. Поскольку 5 - простое число, то и $m$ должно делиться на 5. Значит, $m$ можно представить в виде $m = 5k$ для некоторого целого $k$.

Подставим это выражение в уравнение $m^2 = 5n^2$: $(5k)^2 = 5n^2$ $25k^2 = 5n^2$ Разделим обе части на 5: $5k^2 = n^2$.

Из этого равенства следует, что $n^2$ делится на 5, а значит и само число $n$ делится на 5. Мы получили, что и $m$, и $n$ делятся на 5, что противоречит условию несократимости дроби $\frac{m}{n}$.

Следовательно, наше первоначальное предположение было неверным. Число $\sqrt{5}$ является иррациональным, что и требовалось доказать.

Ответ: доказано, что число $\sqrt{5}$ является иррациональным.