Номер 6.8, страница 196 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.8. Если три простых числа, больших, чем 3, образуют арифметическую прогрессию, то разность этой прогрессии кратна 6. Докажите.

Пусть три простых числа, больших 3, образуют арифметическую прогрессию. Обозначим первый член этой прогрессии как $p$, а разность прогрессии как $d$. Тогда эти три числа можно записать в виде: $p$, $p+d$ и $p+2d$. Нам нужно доказать, что разность $d$ кратна 6. Для этого необходимо показать, что $d$ делится одновременно на 2 и на 3.

Доказательство делимости $d$ на 2

По условию, все три числа $p$, $p+d$, $p+2d$ являются простыми и больше 3. Любое простое число, большее 2, является нечетным. Следовательно, $p$ — нечетное число. Число $p+d$ также является простым и большим 3, значит, оно тоже нечетное. Разность двух нечетных чисел всегда является четным числом. Рассмотрим разность второго и первого членов прогрессии: $d = (p+d) - p$. Так как $p+d$ — нечетное и $p$ — нечетное, то их разность $d$ должна быть четным числом. Таким образом, $d$ делится на 2.

Доказательство делимости $d$ на 3

Докажем этот факт методом от противного. Предположим, что $d$ не делится на 3. Любое простое число, большее 3, не делится на 3. Следовательно, при делении на 3 оно может давать в остатке либо 1, либо 2. Это относится ко всем трем членам прогрессии $p, p+d, p+2d$.

Рассмотрим остатки членов прогрессии при делении на 3. Так как $p$ — простое число больше 3, то $p \not\equiv 0 \pmod 3$. Возможны два варианта для остатка $p$: $p \equiv 1 \pmod 3$ или $p \equiv 2 \pmod 3$. Так как мы предположили, что $d$ не делится на 3, то для остатка $d$ также возможны два варианта: $d \equiv 1 \pmod 3$ или $d \equiv 2 \pmod 3$.

Рассмотрим все четыре возможные комбинации остатков для $p$ и $d$:
1. Если $p \equiv 1 \pmod 3$ и $d \equiv 1 \pmod 3$, то остатки членов $p, p+d, p+2d$ при делении на 3 будут соответственно $1, 2, 0$. Третий член $p+2d$ делится на 3.
2. Если $p \equiv 2 \pmod 3$ и $d \equiv 1 \pmod 3$, то остатки будут $2, 0, 1$. Второй член $p+d$ делится на 3.
3. Если $p \equiv 1 \pmod 3$ и $d \equiv 2 \pmod 3$, то остатки будут $1, 0, 2$. Второй член $p+d$ делится на 3.
4. Если $p \equiv 2 \pmod 3$ и $d \equiv 2 \pmod 3$, то остатки будут $2, 1, 0$. Третий член $p+2d$ делится на 3.

В каждом из этих случаев один из членов прогрессии ($p+d$ или $p+2d$) оказывается кратным 3. Но по условию, все три члена — простые числа больше 3, и они не могут делиться на 3. Мы пришли к противоречию. Следовательно, наше первоначальное предположение о том, что $d$ не делится на 3, неверно. Значит, $d$ должно делиться на 3.

Заключение

Мы доказали, что разность прогрессии $d$ делится на 2 и делится на 3. Поскольку числа 2 и 3 являются взаимно простыми, $d$ должно делиться на их произведение, то есть на $2 \times 3 = 6$. Таким образом, разность арифметической прогрессии кратна 6.

Ответ: Что и требовалось доказать.