Номер 6.4, страница 196 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.4. Докажите, что при каждом натуральном n число:

1) $n^4-n^2$ делится на 12;

2) $n^9-n^3$ делится на 504;

3) $n^4 + 14n^2 + 49$ при n нечетном делится на 64;

4) $5^n-5$ делится на 20;

5) $7^n-7$ делится на 42.

1) Требуется доказать, что при каждом натуральном $n$ число $n^4-n^2$ делится на 12.
Сначала разложим выражение на множители: $n^4-n^2 = n^2(n^2-1) = n^2(n-1)(n+1) = (n-1)n(n+1)n$.
Чтобы доказать делимость на 12, нужно доказать делимость на 3 и на 4, поскольку $12 = 3 \cdot 4$ и числа 3 и 4 взаимно просты.
Делимость на 3: В разложении присутствует произведение трех последовательных натуральных чисел $(n-1)n(n+1)$. Среди любых трех последовательных чисел одно обязательно делится на 3. Следовательно, все выражение делится на 3.
Делимость на 4: Рассмотрим два случая.
Если $n$ — четное число, то его можно представить как $n=2k$ для некоторого натурального $k$. Тогда $n^2=(2k)^2=4k^2$. Так как множитель $n^2$ делится на 4, то и все произведение делится на 4.
Если $n$ — нечетное число, то множители $n-1$ и $n+1$ являются двумя последовательными четными числами. Одно из них делится на 2, а другое — на 4, поэтому их произведение $(n-1)(n+1)$ делится на $2 \cdot 4 = 8$, и тем более делится на 4. Следовательно, и все выражение $(n-1)n(n+1)n$ делится на 4.
Поскольку выражение делится и на 3, и на 4, оно делится на их произведение, равное 12.
Ответ: Утверждение доказано.

2) Требуется доказать, что при каждом натуральном $n$ число $n^9-n^3$ делится на 504.
Разложим делитель на простые множители: $504 = 8 \cdot 9 \cdot 7$. Так как числа 7, 8 и 9 попарно взаимно просты, достаточно доказать, что выражение $n^9-n^3$ делится на 7, 8 и 9.
Разложим исходное выражение на множители: $n^9-n^3 = n^3(n^6-1)$.
Делимость на 7: По Малой теореме Ферма, для любого натурального $n$ и простого числа $p$ выполняется $n^p \equiv n \pmod p$. Для $p=7$ имеем $n^7 \equiv n \pmod 7$. Если $n$ кратно 7, то $n^3$ делится на 7, и все выражение делится на 7. Если $n$ не кратно 7, то по Малой теореме Ферма $n^{7-1} = n^6 \equiv 1 \pmod 7$, откуда $n^6-1$ делится на 7. В обоих случаях $n^3(n^6-1)$ делится на 7.
Делимость на 9: Рассмотрим возможные остатки от деления $n$ на 3.
Если $n \equiv 0 \pmod 3$, то $n=3k$, и $n^3 = 27k^3$ делится на 9.
Если $n \equiv 1 \pmod 3$, то $n^3 \equiv 1 \pmod 9$ (например, $(3k+1)^3 = 27k^3+27k^2+9k+1 \equiv 1 \pmod 9$). Тогда $n^6 = (n^3)^2 \equiv 1^2 = 1 \pmod 9$, и $n^6-1$ делится на 9.
Если $n \equiv -1 \pmod 3$, то $n^3 \equiv -1 \pmod 9$ (например, $(3k-1)^3 = 27k^3-27k^2+9k-1 \equiv -1 \pmod 9$). Тогда $n^6 = (n^3)^2 \equiv (-1)^2 = 1 \pmod 9$, и $n^6-1$ делится на 9.
Таким образом, выражение всегда делится на 9.
Делимость на 8:
Если $n$ — четное, $n=2k$, то $n^3 = (2k)^3=8k^3$ делится на 8.
Если $n$ — нечетное, то $n^2$ при делении на 8 дает в остатке 1, то есть $n^2 \equiv 1 \pmod 8$ (поскольку $(2k+1)^2=4k(k+1)+1$ и $k(k+1)$ четно). Тогда $n^6 = (n^2)^3 \equiv 1^3 = 1 \pmod 8$, откуда $n^6-1$ делится на 8.
Таким образом, выражение всегда делится на 8.
Поскольку выражение делится на 7, 8 и 9, оно делится на их произведение $7 \cdot 8 \cdot 9 = 504$.
Ответ: Утверждение доказано.

3) Требуется доказать, что при $n$ нечетном число $n^4+14n^2+49$ делится на 64.
Заметим, что выражение является полным квадратом: $n^4+14n^2+49 = (n^2+7)^2$.
По условию $n$ — нечетное число. Любое нечетное число $n$ можно представить в виде $n=2k+1$ для некоторого целого $k$.
Тогда $n^2 = (2k+1)^2 = 4k^2+4k+1 = 4k(k+1)+1$.
Произведение $k(k+1)$ всегда четно, так как это произведение двух последовательных целых чисел. Пусть $k(k+1)=2m$.
Тогда $n^2 = 4(2m)+1 = 8m+1$. Это значит, что квадрат любого нечетного числа при делении на 8 дает в остатке 1.
Теперь рассмотрим выражение в скобках: $n^2+7 = (8m+1)+7 = 8m+8 = 8(m+1)$.
Это показывает, что $n^2+7$ делится на 8.
Тогда $(n^2+7)^2 = (8(m+1))^2 = 64(m+1)^2$.
Полученное выражение очевидно делится на 64.
Ответ: Утверждение доказано.

4) Требуется доказать, что при каждом натуральном $n$ число $5^n-5$ делится на 20.
Разложим выражение на множители: $5^n-5 = 5(5^{n-1}-1)$.
Выражение очевидно делится на 5. Чтобы доказать делимость на 20, нужно показать, что оно также делится на 4. Для этого достаточно доказать, что $5^{n-1}-1$ делится на 4 для любого натурального $n$.
При $n=1$, $5^{1-1}-1 = 5^0-1 = 1-1=0$. $0$ делится на 4.
При $n>1$, $n-1 \ge 1$. Используем формулу разности степеней $a^k-b^k=(a-b)(a^{k-1}+a^{k-2}b+...+b^{k-1})$:
$5^{n-1}-1 = 5^{n-1}-1^{n-1} = (5-1)(5^{n-2} + 5^{n-3} + \dots + 5^1 + 1) = 4 \cdot (5^{n-2} + \dots + 1)$.
Так как второй множитель является целым числом, то $5^{n-1}-1$ делится на 4.
Следовательно, выражение $5(5^{n-1}-1)$ делится на $5 \cdot 4 = 20$.
Ответ: Утверждение доказано.

5) Требуется доказать, что при каждом натуральном $n$ число $7^n-7$ делится на 42.
Разложим делитель на множители: $42 = 6 \cdot 7 = 2 \cdot 3 \cdot 7$. Нужно доказать делимость выражения на 2, 3 и 7.
Разложим исходное выражение на множители: $7^n-7 = 7(7^{n-1}-1)$.
Делимость на 7: Наличие множителя 7 показывает, что выражение делится на 7.
Делимость на 6: Докажем, что $7^{n-1}-1$ делится на 6. Для этого покажем делимость на 2 и 3.
Делимость на 2: 7 — нечетное число, любая его натуральная степень $7^{n-1}$ также нечетна. Разность нечетного числа и единицы ($7^{n-1}-1$) всегда является четным числом, то есть делится на 2.
Делимость на 3: Рассмотрим остатки по модулю 3. $7 \equiv 1 \pmod 3$. Тогда $7^{n-1} \equiv 1^{n-1} = 1 \pmod 3$. Отсюда $7^{n-1}-1 \equiv 1-1 = 0 \pmod 3$, то есть $7^{n-1}-1$ делится на 3.
Поскольку $7^{n-1}-1$ делится на 2 и на 3, оно делится на их произведение 6.
Итак, мы показали, что $7^{n-1}-1$ делится на 6, а $7(7^{n-1}-1)$ делится на 7. Следовательно, выражение делится на $6 \cdot 7 = 42$.
Ответ: Утверждение доказано.