Номер 6.1, страница 196 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.1. При каких значениях $a$ число $\overline{5431a}$ делится на: 1) 2; 2) 3; 3) 4; 4) 5; 5) 6; 6) 9; 7) 10; 8) 11?

1) 2;Число делится на 2, если его последняя цифра является четной. В числе $\overline{5431a}$ последняя цифра — это $a$. Следовательно, $a$ должно быть четной цифрой.Ответ: $a \in \{0, 2, 4, 6, 8\}$.

2) 3;Число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3. Сумма цифр числа $\overline{5431a}$ равна $5+4+3+1+a = 13+a$. Это выражение должно быть кратно 3. Перебирая значения $a$ от 0 до 9, находим подходящие: при $a=2$ сумма равна $15$ ($15:3=5$); при $a=5$ сумма равна $18$ ($18:3=6$); при $a=8$ сумма равна $21$ ($21:3=7$).Ответ: $a \in \{2, 5, 8\}$.

3) 4;Число делится на 4, если число, образованное двумя его последними цифрами, делится на 4. В нашем случае это число $\overline{1a}$, то есть $10+a$. Это выражение должно делиться на 4. Это выполняется при $a=2$ (число 12) и $a=6$ (число 16).Ответ: $a \in \{2, 6\}$.

4) 5;Число делится на 5, если его последняя цифра — 0 или 5. В данном случае последняя цифра — это $a$.Ответ: $a \in \{0, 5\}$.

5) 6;Число делится на 6, если оно одновременно делится на 2 и на 3. Для делимости на 2, $a$ должно быть из множества $\{0, 2, 4, 6, 8\}$ (из пункта 1). Для делимости на 3, $a$ должно быть из множества $\{2, 5, 8\}$ (из пункта 2). Чтобы число делилось на 6, значение $a$ должно принадлежать обоим множествам. Общими элементами являются 2 и 8.Ответ: $a \in \{2, 8\}$.

6) 9;Число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9. Сумма цифр числа $\overline{5431a}$ равна $13+a$. Это выражение должно быть кратно 9. Так как $a$ — это цифра от 0 до 9, то $13+a$ может принимать значения от 13 до 22. Единственное число в этом диапазоне, кратное 9, — это 18. Следовательно, $13+a=18$, откуда $a=5$.Ответ: $a = 5$.

7) 10;Число делится на 10, если его последняя цифра — 0. В нашем случае это $a$.Ответ: $a = 0$.

8) 11;Число делится на 11, если разность между суммой цифр на нечетных местах и суммой цифр на четных местах делится на 11. Для числа $\overline{5431a}$ сумма цифр на нечетных местах (1-й, 3-й, 5-й) равна $5+3+a=8+a$. Сумма цифр на четных местах (2-й, 4-й) равна $4+1=5$. Разность равна $(8+a)-5 = 3+a$. Это выражение должно делиться на 11. Так как $a$ — цифра от 0 до 9, значение $3+a$ может быть от 3 до 12. Единственное кратное 11 число в этом диапазоне — это 11. Значит, $3+a=11$, откуда $a=8$.Ответ: $a = 8$.