Номер 5.116, страница 193 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.116. Найдите коэффициент при $x^5$ многочлена:

1) $(1+x-x^2)^3;$

2) $(1+x^2-x^3)^4.$

1) Для нахождения коэффициента при $x^5$ в разложении многочлена $(1+x-x^2)^3$ воспользуемся формулой полиномиального разложения (трином Ньютона):

$(a+b+c)^n = \sum_{i+j+k=n} \frac{n!}{i!j!k!} a^i b^j c^k$, где $i, j, k$ — неотрицательные целые числа.

В нашем случае $a=1$, $b=x$, $c=-x^2$ и $n=3$. Общий член разложения имеет вид:

$\frac{3!}{i!j!k!} (1)^i (x)^j (-x^2)^k = \frac{3!}{i!j!k!} (-1)^k x^{j+2k}$

Мы ищем члены, в которых степень $x$ равна 5. Это означает, что нам нужно найти все наборы неотрицательных целых чисел $(i, j, k)$, удовлетворяющие системе уравнений:

$\begin{cases} i+j+k=3 \\ j+2k=5 \end{cases}$

Из второго уравнения выразим $j = 5-2k$. Так как $j \ge 0$, то $5-2k \ge 0$, что дает $k \le 2.5$. Возможные целые значения для $k$: 0, 1, 2.

Рассмотрим каждый случай:

• Если $k=0$, то $j=5$. Тогда из первого уравнения $i=3-j-k=3-5-0=-2$. Это невозможно, так как $i$ должно быть неотрицательным.

• Если $k=1$, то $j=5-2(1)=3$. Тогда $i=3-j-k=3-3-1=-1$. Это также невозможно.

• Если $k=2$, то $j=5-2(2)=1$. Тогда $i=3-j-k=3-1-2=0$. Это решение нам подходит: $(i, j, k) = (0, 1, 2)$.

Таким образом, существует только один набор $(i, j, k)$, который дает член с $x^5$. Найдем соответствующий коэффициент:

$\frac{3!}{0!1!2!} (-1)^2 = \frac{6}{1 \cdot 1 \cdot 2} \cdot 1 = 3$

Член многочлена с $x^5$ равен $3x^5$.

Ответ: 3

2) Для нахождения коэффициента при $x^5$ в разложении многочлена $(1+x^2-x^3)^4$ снова воспользуемся формулой полиномиального разложения.

В этом случае $a=1$, $b=x^2$, $c=-x^3$ и $n=4$. Общий член разложения имеет вид:

$\frac{4!}{i!j!k!} (1)^i (x^2)^j (-x^3)^k = \frac{4!}{i!j!k!} (-1)^k x^{2j+3k}$

Мы ищем члены, в которых степень $x$ равна 5. Составим систему уравнений для неотрицательных целых чисел $(i, j, k)$:

$\begin{cases} i+j+k=4 \\ 2j+3k=5 \end{cases}$

Из второго уравнения $2j=5-3k$. Так как $j \ge 0$, то $5-3k \ge 0$, что дает $k \le 5/3 \approx 1.67$. Кроме того, $5-3k$ должно быть четным числом, так как $2j$ — четное.

Рассмотрим возможные целые значения для $k$: 0, 1.

• Если $k=0$, то $2j=5$, откуда $j=2.5$. Это не целое число, поэтому данное решение не подходит.

• Если $k=1$, то $2j=5-3(1)=2$, откуда $j=1$. Тогда из первого уравнения $i=4-j-k=4-1-1=2$. Это решение нам подходит: $(i, j, k) = (2, 1, 1)$.

Найден единственный набор $(i, j, k)$, который дает член с $x^5$. Вычислим соответствующий коэффициент:

$\frac{4!}{2!1!1!} (-1)^1 = \frac{24}{2 \cdot 1 \cdot 1} \cdot (-1) = 12 \cdot (-1) = -12$

Член многочлена с $x^5$ равен $-12x^5$.

Ответ: -12