Номер 5.112, страница 193 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.112. Сколько пятизначных чисел можно написать с помощью цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 так, чтобы они состояли из 3 нечетных, 2 четных цифр и все цифры в них не повторялись?

Для решения задачи необходимо выполнить два основных шага: сначала выбрать требуемое количество четных и нечетных цифр, а затем найти количество пятизначных чисел, которые можно из них составить.

1. Выбор цифр
В заданном наборе {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} имеется 4 нечетные цифры ({1, 3, 5, 7}) и 3 четные цифры ({2, 4, 6}). По условию, нам нужно выбрать 3 нечетные цифры и 2 четные. Поскольку порядок выбора не важен на этом этапе, используем формулу для числа сочетаний $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

Количество способов выбрать 3 нечетные цифры из 4: $C_4^3 = \frac{4!}{3!(4-3)!} = \frac{4!}{3! \cdot 1!} = 4$ способа.

Количество способов выбрать 2 четные цифры из 3: $C_3^2 = \frac{3!}{2!(3-2)!} = \frac{3!}{2! \cdot 1!} = 3$ способа.

Общее число способов сформировать уникальный набор из пяти цифр (3 нечетных и 2 четных) находится по правилу произведения: $N_{выбора} = C_4^3 \times C_3^2 = 4 \times 3 = 12$ способов.

2. Составление чисел
Каждый из 12 полученных наборов состоит из 5 различных цифр (поскольку исходные цифры уникальны, и мы выбираем без повторений). Чтобы составить из них пятизначное число, нужно найти количество всех возможных перестановок этих 5 цифр. Число перестановок из 5 элементов ($P_5$) вычисляется как $5!$: $P_5 = 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$.

3. Итоговый результат
Чтобы найти общее количество возможных пятизначных чисел, нужно умножить количество способов выбора набора цифр на количество перестановок для каждого набора: $N_{итого} = N_{выбора} \times P_5 = 12 \times 120 = 1440$.

Ответ: 1440