Номер 5.108, страница 192 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.108. Из шахматной доски вырезали две клетки, расположенные на одной диагонали. Можно ли оставшуюся часть доски полностью покрыть прямоугольником, составленным из одной белой и одной черной клеток?

Стандартная шахматная доска имеет размер $8 \times 8$ и содержит 64 клетки: 32 белые и 32 черные.

Ключевым свойством шахматной доски является то, что все клетки, расположенные на одной диагонали, окрашены в один и тот же цвет. Это легко проверить: при движении по диагонали координаты клетки $(x, y)$ меняются таким образом, что сумма $x+y$ либо сохраняет четность (для главных диагоналей), либо меняется на 2, что также сохраняет четность. Клетки одного цвета как раз и характеризуются одинаковой четностью суммы координат.

Согласно условию задачи, из доски вырезали две клетки, находящиеся на одной диагонали. Из этого следует, что были удалены две клетки одинакового цвета.

Рассмотрим, как изменится состав клеток на доске:

• Если изначально было 32 белых и 32 черных клетки, то после удаления двух белых клеток на доске останется $32 - 2 = 30$ белых клеток и 32 черных.
• Если же были удалены две черные клетки, то на доске останется 32 белых и $32 - 2 = 30$ черных клеток.

В любом случае, на оставшейся части доски (которая теперь состоит из $64 - 2 = 62$ клеток) количество белых и черных клеток становится разным (30 и 32).

Прямоугольник, которым предлагается покрыть доску, состоит из одной белой и одной черной клетки. Такой прямоугольник также известен как кость домино. Каждая такая кость домино, как бы ее ни расположили на доске, всегда будет покрывать ровно одну белую и одну черную клетку.

Для того чтобы можно было полностью покрыть какую-либо область доски костями домино, необходимо, чтобы эта область содержала равное количество белых и черных клеток. Ведь если мы используем $N$ костей домино, то они покроют $N$ белых и $N$ черных клеток. Оставшаяся после вырезания часть доски содержит 62 клетки, для ее покрытия понадобилась бы $62 / 2 = 31$ кость домино. Эти 31 кость покрыли бы 31 белую и 31 черную клетку.

Однако, как мы выяснили, на оставшейся части доски находится 30 клеток одного цвета и 32 клетки другого. Это создает дисбаланс, который невозможно устранить с помощью костей домино, покрывающих клетки парами (одна белая + одна черная). Таким образом, возникает противоречие.

Ответ: Нет, оставшуюся часть доски полностью покрыть такими прямоугольниками невозможно.