Номер 5.114, страница 193 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.114. Докажите тождества:

1) $C_n^k + C_n^{k-1} = C_{n+1}^k$;

2) $C_n^1 + 6C_n^2 + 6C_n^3 = n^3$;

3) $C_n^0 + 7C_n^1 + 12C_n^2 + 6C_n^3 = (n+1)^3$.

1) Докажем тождество $C_n^k + C_n^{k-1} = C_{n+1}^k$. Это тождество известно как тождество Паскаля.
Воспользуемся формулой для числа сочетаний (биномиального коэффициента): $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.
Преобразуем левую часть равенства:
$C_n^k + C_n^{k-1} = \frac{n!}{k!(n-k)!} + \frac{n!}{(k-1)!(n-(k-1))!} = \frac{n!}{k!(n-k)!} + \frac{n!}{(k-1)!(n-k+1)!}$.
Чтобы сложить эти дроби, приведем их к общему знаменателю $k!(n-k+1)!$. Для этого домножим числитель и знаменатель первой дроби на $(n-k+1)$, а второй — на $k$:
$\frac{n!(n-k+1)}{k!(n-k)!(n-k+1)} + \frac{n! \cdot k}{k(k-1)!(n-k+1)!} = \frac{n!(n-k+1)}{k!(n-k+1)!} + \frac{n!k}{k!(n-k+1)!}$.
Теперь сложим дроби с одинаковыми знаменателями:
$\frac{n!(n-k+1) + n!k}{k!(n-k+1)!} = \frac{n!(n-k+1+k)}{k!(n-k+1)!} = \frac{n!(n+1)}{k!(n+1-k)!} = \frac{(n+1)!}{k!(n+1-k)!}$.
Рассмотрим правую часть исходного тождества: $C_{n+1}^k = \frac{(n+1)!}{k!((n+1)-k)!} = \frac{(n+1)!}{k!(n+1-k)!}$.
Поскольку левая и правая части равны, тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.

2) Докажем тождество $C_n^1 + 6C_n^2 + 6C_n^3 = n^3$.
Для этого раскроем биномиальные коэффициенты в левой части по формуле $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$:
$C_n^1 = \frac{n!}{1!(n-1)!} = \frac{n \cdot (n-1)!}{1 \cdot (n-1)!} = n$
$C_n^2 = \frac{n!}{2!(n-2)!} = \frac{n(n-1)(n-2)!}{2 \cdot 1 \cdot (n-2)!} = \frac{n(n-1)}{2}$
$C_n^3 = \frac{n!}{3!(n-3)!} = \frac{n(n-1)(n-2)(n-3)!}{3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot (n-3)!} = \frac{n(n-1)(n-2)}{6}$
Подставим эти выражения в левую часть тождества и выполним преобразования:
$C_n^1 + 6C_n^2 + 6C_n^3 = n + 6 \cdot \frac{n(n-1)}{2} + 6 \cdot \frac{n(n-1)(n-2)}{6}$
$= n + 3n(n-1) + n(n-1)(n-2)$
$= n + (3n^2 - 3n) + n(n^2 - 2n - n + 2)$
$= n + 3n^2 - 3n + n(n^2 - 3n + 2)$
$= n + 3n^2 - 3n + n^3 - 3n^2 + 2n$
Приведем подобные слагаемые:
$= n^3 + (3n^2 - 3n^2) + (n - 3n + 2n) = n^3 + 0 + 0 = n^3$.
Левая часть тождества равна $n^3$, что совпадает с правой частью. Тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.

3) Докажем тождество $C_n^0 + 7C_n^1 + 12C_n^2 + 6C_n^3 = (n+1)^3$.
Используем выражения для $C_n^1, C_n^2, C_n^3$ из предыдущего пункта и учтем, что $C_n^0 = \frac{n!}{0!n!} = 1$.
Подставим эти выражения в левую часть тождества:
$1 + 7 \cdot n + 12 \cdot \frac{n(n-1)}{2} + 6 \cdot \frac{n(n-1)(n-2)}{6}$
$= 1 + 7n + 6n(n-1) + n(n-1)(n-2)$
Раскроем скобки и упростим выражение:
$= 1 + 7n + 6n^2 - 6n + n(n^2 - 3n + 2)$
$= 1 + n + 6n^2 + n^3 - 3n^2 + 2n$
Приведем подобные слагаемые:
$= n^3 + (6n^2 - 3n^2) + (n + 2n) + 1$
$= n^3 + 3n^2 + 3n + 1$
Теперь рассмотрим правую часть тождества. По формуле куба суммы $(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$ имеем:
$(n+1)^3 = n^3 + 3 \cdot n^2 \cdot 1 + 3 \cdot n \cdot 1^2 + 1^3 = n^3 + 3n^2 + 3n + 1$.
Полученные выражения для левой и правой частей совпадают, следовательно, тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.