Номер 5.115, страница 193 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.115. В биномиальном разложении выражения $\left(x+\frac{1}{x}\right)^m$ сумма коэффициентов первого и третьего слагаемых равна 46. Найдите слагаемое, не содержащее переменную $x$.

Для решения задачи воспользуемся формулой бинома Ньютона. Общий член $(k+1)$-й биномиального разложения выражения $(a+b)^m$ имеет вид:
$T_{k+1} = C_m^k a^{m-k} b^k$, где $C_m^k = \frac{m!}{k!(m-k)!}$ – это биномиальный коэффициент.

В данном выражении $\left(x+\frac{1}{x}\right)^m$ имеем $a=x$ и $b=\frac{1}{x}$. Подставив их в формулу общего члена, получим:
$T_{k+1} = C_m^k x^{m-k} \left(\frac{1}{x}\right)^k = C_m^k x^{m-k} x^{-k} = C_m^k x^{m-2k}$.

Сначала найдем показатель степени $m$. По условию, сумма коэффициентов первого и третьего слагаемых равна 46.
Первое слагаемое соответствует $k=0$. Его коэффициент равен $C_m^0 = 1$.
Третье слагаемое соответствует $k=2$. Его коэффициент равен $C_m^2 = \frac{m!}{2!(m-2)!} = \frac{m(m-1)}{2}$.

Составим уравнение на основе условия задачи:
$C_m^0 + C_m^2 = 46$
$1 + \frac{m(m-1)}{2} = 46$
$\frac{m(m-1)}{2} = 45$
$m(m-1) = 90$
$m^2 - m - 90 = 0$
Решая это квадратное уравнение (например, по теореме Виета), находим корни $m_1 = 10$ и $m_2 = -9$. Поскольку показатель степени $m$ в биномиальном разложении должен быть натуральным числом, то единственным подходящим решением является $m=10$.

Теперь, зная $m=10$, найдем слагаемое, не содержащее переменную $x$. Такое слагаемое будет иметь степень при $x$ равную нулю. Используем формулу общего члена $T_{k+1} = C_{10}^k x^{10-2k}$ и приравняем показатель степени к нулю:
$10 - 2k = 0$
$2k = 10$
$k = 5$

Это означает, что искомое слагаемое является шестым членом разложения (поскольку $k=5$, то номер члена $k+1=6$). Найдем его значение:
$T_6 = C_{10}^5 x^{10-2 \cdot 5} = C_{10}^5 x^0 = C_{10}^5$.
Осталось вычислить значение коэффициента $C_{10}^5$:
$C_{10}^5 = \frac{10!}{5!(10-5)!} = \frac{10!}{5!5!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{30240}{120} = 252$.

Таким образом, слагаемое в разложении, не содержащее переменную $x$, равно 252.

Ответ: 252