Номер 5.109, страница 192 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.109. На почтамте в продаже есть 10 видов марок. Сколькими способами можно купить:

1) 8 марок;
В данном случае нам нужно найти количество способов купить 8 марок из 10 имеющихся видов. Марки могут быть одинаковыми, и порядок их покупки не важен. Это классическая задача на нахождение числа сочетаний с повторениями.
Мы выбираем $k=8$ марок из $n=10$ видов. Формула для числа сочетаний с повторениями имеет вид:
$ \bar{C}_n^k = C_{n+k-1}^k = \frac{(n+k-1)!}{k!(n-1)!} $
Подставим наши значения $n=10$ и $k=8$ в формулу:
$ \bar{C}_{10}^8 = C_{10+8-1}^8 = C_{17}^8 $
Теперь рассчитаем значение этого выражения:
$ C_{17}^8 = \frac{17!}{8!(17-8)!} = \frac{17!}{8!9!} = \frac{17 \times 16 \times 15 \times 14 \times 13 \times 12 \times 11 \times 10}{8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} $
После сокращения дроби получаем:
$ C_{17}^8 = 17 \times 13 \times 11 \times 10 = 24310 $
Следовательно, существует 24310 способов купить 8 марок.

Ответ: 24310

2) 8 различных марок?
В этом случае все 8 марок должны быть разных видов. Это означает, что нам нужно выбрать 8 различных видов марок из 10 доступных. Порядок выбора не имеет значения, поэтому мы используем формулу для числа сочетаний без повторений.
Мы выбираем $k=8$ различных видов из $n=10$ видов. Формула для числа сочетаний без повторений:
$ C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!} $
Подставим значения $n=10$ и $k=8$:
$ C_{10}^8 = \frac{10!}{8!(10-8)!} = \frac{10!}{8!2!} $
Рассчитаем значение, сократив факториалы:
$ C_{10}^8 = \frac{10 \times 9 \times 8!}{8! \times 2 \times 1} = \frac{10 \times 9}{2} = 45 $
Можно также использовать свойство сочетаний $ C_n^k = C_n^{n-k} $:
$ C_{10}^8 = C_{10}^{10-8} = C_{10}^2 = \frac{10 \times 9}{2 \times 1} = 45 $
Таким образом, существует 45 способов купить 8 различных марок.

Ответ: 45