Номер 5.111, страница 193 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.111. В течение 15 дней учащиеся должны сдать 5 экзаменов. Среди них один экзамен по алгебре, а другой – по геометрии. Сколькими способами можно составить график экзаменов так, чтобы экзамены по алгебре и геометрии не следовали друг за другом?

Для решения этой задачи воспользуемся методом от противного. Сначала мы найдем общее количество всех возможных способов составить расписание экзаменов, а затем вычтем из этого числа количество "неблагоприятных" способов, то есть тех, при которых экзамены по алгебре и геометрии следуют друг за другом.

Шаг 1: Нахождение общего числа способов составить расписание

У нас есть 15 дней и 5 различных экзаменов. Нужно выбрать 5 дней из 15 и назначить на каждый из этих дней один из экзаменов. Поскольку порядок экзаменов важен (расписание на понедельник-вторник отличается от вторника-понедельника), мы используем формулу для нахождения числа размещений.Общее число способов составить расписание равно числу размещений из 15 по 5:

$N_{общ} = A_{15}^5 = \frac{15!}{(15-5)!} = \frac{15!}{10!} = 15 \times 14 \times 13 \times 12 \times 11 = 360360$

Таким образом, существует 360360 возможных вариантов расписания без каких-либо ограничений.

Шаг 2: Нахождение числа способов, когда экзамены по алгебре и геометрии идут подряд

Теперь посчитаем количество расписаний, в которых экзамены по алгебре и геометрии стоят в соседние дни. Мы можем рассматривать эту пару экзаменов как единый блок.Этот блок может быть в двух вариантах: (алгебра, геометрия) или (геометрия, алгебра).Поскольку блок занимает два последовательных дня, существует 14 возможных позиций для этого блока в 15-дневном расписании (дни 1-2, 2-3, 3-4, ..., 14-15).После того как мы определили дни для блока "алгебра-геометрия", нам нужно разместить оставшиеся $5 - 2 = 3$ экзамена на свободных $15 - 2 = 13$ днях. Число способов сделать это также является числом размещений из 13 по 3:

$A_{13}^3 = \frac{13!}{(13-3)!} = \frac{13!}{10!} = 13 \times 12 \times 11 = 1716$

Число "неблагоприятных" способов для одного порядка в блоке (например, сначала алгебра, потом геометрия) равно произведению числа позиций блока (14) на число способов размещения остальных экзаменов ($A_{13}^3$):

$14 \times A_{13}^3 = 14 \times 1716 = 24024$

Так как существует два варианта порядка экзаменов в блоке (алгебра-геометрия и геометрия-алгебра), мы удваиваем это число, чтобы учесть все "неблагоприятные" расписания:

$N_{небл} = 2 \times 14 \times A_{13}^3 = 2 \times 24024 = 48048$

Шаг 3: Нахождение искомого числа способов

Чтобы найти количество способов составить график так, чтобы экзамены по алгебре и геометрии не следовали друг за другом, нужно вычесть число "неблагоприятных" способов из общего числа способов:

$N = N_{общ} - N_{небл} = 360360 - 48048 = 312312$

Ответ: 312312.