Номер 5.113, страница 193 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.113. Сколькими способами можно переставлять местами буквы в слове «сорняк» так, чтобы между двумя гласными буквами были расположены 2 согласные буквы?

В слове «сорняк» 6 букв, все они различны. Из них 2 гласные (Г) — 'о', 'я', и 4 согласные (С) — 'с', 'р', 'н', 'к'.

По условию задачи, между двумя гласными буквами должны быть расположены ровно 2 согласные. Это означает, что эти четыре буквы образуют единый блок вида ГССГ.

Вычислим, сколькими способами можно составить такой блок.

1. Расстановка гласных букв. На две крайние позиции в блоке (Г _ _ Г) нужно расставить 2 гласные буквы ('о', 'я'). Количество способов сделать это равно числу перестановок из 2 элементов: $P_2 = 2! = 2$ способа (комбинации «о...я» и «я...о»).

2. Выбор и расстановка согласных букв. На две средние позиции в блоке (_ С С _) нужно выбрать 2 согласные из 4 имеющихся ('с', 'р', 'н', 'к') и расставить их. Поскольку порядок важен (например, «ср» и «рс» — разные варианты), мы используем формулу для нахождения числа размещений из 4 по 2: $A_4^2 = \frac{4!}{(4-2)!} = \frac{4!}{2!} = 4 \times 3 = 12$ способов.

Общее число способов для формирования блока ГССГ равно произведению числа способов расстановки гласных и согласных: $2 \times 12 = 24$ способа.

Теперь будем рассматривать этот блок из 4 букв как один неделимый элемент. Помимо этого блока, у нас остались еще 2 согласные буквы, которые не были использованы (из 4 согласных мы взяли 2 в блок).

Таким образом, нам нужно найти число перестановок для 3-х элементов: наш блок и 2 оставшиеся согласные. Все эти три элемента различны.

Число перестановок из 3-х элементов равно: $P_3 = 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$ способов.

Итоговое количество способов получить требуемую расстановку букв равно произведению числа способов сформировать блок на число способов расставить этот блок с оставшимися буквами:

Всего способов = (число способов сформировать блок) $\times$ (число способов переставить 3 элемента) = $24 \times 6 = 144$.

Ответ: 144.