Номер 5.119, страница 193 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.119. Пусть $P(A) \ne 0$. Докажите равенство

$P_A(B+C)=P_A(B)+P_A(C)-P_A(BC).$

5.120.

Для доказательства данного равенства мы будем использовать определение условной вероятности и основные свойства вероятностей. Условная вероятность события $X$ при условии наступления события $A$ (при $P(A) \neq 0$) определяется формулой:$P_A(X) = P(X|A) = \frac{P(XA)}{P(A)}$.В данной задаче обозначение $B+C$ соответствует объединению событий $B \cup C$, а $BC$ — их пересечению $B \cap C$.

Начнем с левой части доказываемого равенства и применим к ней определение условной вероятности:$P_A(B+C) = P(B \cup C|A) = \frac{P((B \cup C)A)}{P(A)}$.

Используя свойство дистрибутивности операции пересечения относительно объединения, преобразуем событие в числителе:$(B \cup C)A = (BA) \cup (CA)$.

Подставим это выражение обратно в формулу условной вероятности:$P_A(B+C) = \frac{P((BA) \cup (CA))}{P(A)}$.

Теперь применим к числителю теорему сложения вероятностей, которая гласит, что для любых двух событий $X$ и $Y$ справедливо $P(X \cup Y) = P(X) + P(Y) - P(X \cap Y)$. Положив $X=BA$ и $Y=CA$, получим:$P((BA) \cup (CA)) = P(BA) + P(CA) - P((BA) \cap (CA))$.

Упростим пересечение событий в последнем слагаемом:$(BA) \cap (CA) = B \cap A \cap C \cap A = B \cap C \cap A = BCA$.

Таким образом, выражение для вероятности объединения принимает вид:$P((BA) \cup (CA)) = P(BA) + P(CA) - P(BCA)$.

Теперь подставим это в нашу основную формулу:$P_A(B+C) = \frac{P(BA) + P(CA) - P(BCA)}{P(A)}$.

Разделив числитель почленно на знаменатель, получим:$P_A(B+C) = \frac{P(BA)}{P(A)} + \frac{P(CA)}{P(A)} - \frac{P(BCA)}{P(A)}$.

Каждое из полученных слагаемых по определению является условной вероятностью:$\frac{P(BA)}{P(A)} = P(B|A) = P_A(B)$,$\frac{P(CA)}{P(A)} = P(C|A) = P_A(C)$,$\frac{P(BCA)}{P(A)} = P(BC|A) = P_A(BC)$.

Подставляя эти выражения, мы получаем правую часть исходного равенства:$P_A(B+C) = P_A(B) + P_A(C) - P_A(BC)$.

Таким образом, левая часть тождественно равна правой, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство доказано.