Номер 6.3, страница 196 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.3. Докажите, что число $abc - cba$ делится на 9, если $a > c$.

6.3. Пусть $\overline{abc}$ и $\overline{cba}$ — это трехзначные числа. В записи $\overline{abc}$ буква $a$ обозначает цифру сотен, $b$ — цифру десятков, а $c$ — цифру единиц. В записи $\overline{cba}$ наоборот: $c$ — цифра сотен, $b$ — десятков, $a$ — единиц. По условию $a, b, c$ являются цифрами от 0 до 9. Так как числа трехзначные, то $a \neq 0$ и $c \neq 0$. Также дано условие $a > c$.

Представим эти числа в виде суммы их разрядных слагаемых:
$\overline{abc} = 100 \cdot a + 10 \cdot b + c$
$\overline{cba} = 100 \cdot c + 10 \cdot b + a$

Теперь найдем разность этих двух чисел:
$\overline{abc} - \overline{cba} = (100a + 10b + c) - (100c + 10b + a)$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$100a + 10b + c - 100c - 10b - a = (100a - a) + (10b - 10b) + (c - 100c)$

После упрощения получаем:
$99a + 0 - 99c = 99a - 99c$

Вынесем общий множитель 99 за скобки:
$99(a - c)$

Число 99 делится на 9, так как $99 = 9 \cdot 11$. Следовательно, полученное выражение можно записать в виде:
$9 \cdot 11 \cdot (a - c)$

Поскольку $a$ и $c$ являются целыми числами (цифрами), то их разность $(a - c)$ также является целым числом. Обозначим $k = 11 \cdot (a - c)$, где $k$ - целое число. Тогда разность чисел равна $9k$.

Так как разность чисел $\overline{abc} - \overline{cba}$ можно представить в виде произведения числа 9 и некоторого целого числа $k$, это означает, что разность $\overline{abc} - \overline{cba}$ всегда делится на 9 без остатка. Условие $a > c$ гарантирует, что разность является положительным числом, но на сам факт делимости это не влияет.

Ответ: Мы показали, что разность $\overline{abc} - \overline{cba} = 99(a-c) = 9 \cdot 11(a-c)$. Поскольку в этом выражении присутствует множитель 9, оно всегда будет делиться на 9. Что и требовалось доказать.