Номер 6.9, страница 196 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.9. Докажите, что любое нечетное простое число представляется в виде $4m-1$ или $4m+1$, где $m$ – натуральное число.

Пусть $p$ — произвольное нечетное простое число. По определению, простое число — это натуральное число больше 1, которое имеет ровно два различных натуральных делителя: 1 и само себя. Все простые числа, кроме числа 2, являются нечетными.

Согласно теореме о делении с остатком, любое целое число при делении на 4 можно представить в одном из четырех следующих видов, где $q$ — некоторое целое число:
1. $p = 4q$ (остаток 0)
2. $p = 4q + 1$ (остаток 1)
3. $p = 4q + 2$ (остаток 2)
4. $p = 4q + 3$ (остаток 3)

Поскольку по условию $p$ — нечетное простое число, оно не может быть четным. Проанализируем каждый из четырех случаев:

Случай $p = 4q$: число $p$ делится нацело на 4, а значит, и на 2. Следовательно, $p$ — четное число. Единственное четное простое число — это 2, но мы рассматриваем нечетные простые числа. Значит, этот случай невозможен.

Случай $p = 4q + 2$: вынеся 2 за скобки, получим $p = 2(2q + 1)$. Это означает, что $p$ также является четным числом. По той же причине, что и в первом случае, этот вариант для нечетного простого числа невозможен.

Таким образом, любое нечетное простое число $p$ должно иметь вид либо $p = 4q + 1$, либо $p = 4q + 3$. Теперь необходимо показать, что эти формы соответствуют формам $4m+1$ и $4m-1$, где $m$ — натуральное число.

Если $p = 4q + 1$. Поскольку $p$ — нечетное простое число, то $p \ge 3$. Из неравенства $4q + 1 \ge 3$ следует, что $4q \ge 2$, или $q \ge \frac{1}{2}$. Так как $q$ — целое число, то $q$ должно быть как минимум 1. Это означает, что $q$ является натуральным числом. Мы можем положить $m = q$. Таким образом, $p$ представляется в виде $p = 4m + 1$, где $m$ — натуральное число.

Если $p = 4q + 3$. Мы можем преобразовать это выражение: $p = 4q + 3 = (4q + 4) - 1 = 4(q + 1) - 1$. Положим $m = q + 1$. Так как $p \ge 3$, из неравенства $4q + 3 \ge 3$ следует, что $4q \ge 0$, или $q \ge 0$. Поскольку $q$ — целое неотрицательное число ($q \in \{0, 1, 2, ...\}$), то $m = q + 1$ будет натуральным числом ($m \in \{1, 2, 3, ...\}$). Следовательно, $p$ представляется в виде $p = 4m - 1$, где $m$ — натуральное число.

Мы показали, что любое нечетное простое число не может быть представлено в виде $4q$ или $4q+2$, и обязательно представляется либо в виде $4m+1$, либо в виде $4m-1$, где $m$ — натуральное число. Что и требовалось доказать.

Ответ: Любое целое число при делении на 4 дает один из остатков: 0, 1, 2 или 3. Нечетное простое число $p$ не может быть четным, поэтому случаи, когда $p=4q$ (остаток 0) и $p=4q+2$ (остаток 2), исключаются, так как они описывают четные числа. Следовательно, для $p$ остаются две возможности: $p=4q+1$ или $p=4q+3$. В первом случае, так как $p \ge 3$, то $q$ должно быть натуральным числом. Обозначив $q$ как $m$, получаем вид $p=4m+1$. Во втором случае, $p=4q+3$ можно записать как $p=4(q+1)-1$. Так как $p \ge 3$, то $q$ — целое неотрицательное число. Обозначив $q+1$ как $m$, получаем, что $m$ — натуральное число, и $p$ имеет вид $4m-1$. Таким образом, утверждение доказано.