Номер 6.16, страница 197 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.16. Докажите формулы:

1) $a^2 - b^2 =(a-b)(a+b);$

2) $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2;$

3) $(a-b)^2 = a^2- 2ab + b^2;$

4) $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2);$

5) $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2);$

6) $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3;$

7) $(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3;$

8) $(a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc;$

9) $a^n - 1 = (a - 1)(a^{n-1}+a^{n-2} + \dots +a + 1);$

10) $a^n - b^n = (a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b + \dots +ab^{n-2}+b^{n-1});$

11) $a^{2n+1} + 1 =(a+1) (a^{2n}-a^{2n-1} + \dots -a+1);$

12) $a^{2n+1} + b^{2n+1} = (a+b)(a^{2n}-a^{2n-1}b+\dots-ab^{2n-1}+b^{2n}).$

1) $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b);$

Докажем тождество, раскрыв скобки в правой части равенства, используя правило умножения многочленов (каждый член первого многочлена умножается на каждый член второго):

$(a-b)(a+b) = a \cdot a + a \cdot b - b \cdot a - b \cdot b = a^2 + ab - ab - b^2$

Сокращаем подобные члены $ab$ и $-ab$:

$a^2 + ab - ab - b^2 = a^2 - b^2$

Правая часть равна левой, следовательно, формула верна.

Ответ: Формула доказана.

2) $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2;$

Для доказательства раскроем квадрат суммы в левой части как произведение двух одинаковых скобок:

$(a+b)^2 = (a+b)(a+b) = a \cdot a + a \cdot b + b \cdot a + b \cdot b = a^2 + ab + ab + b^2$

Приводим подобные слагаемые:

$a^2 + 2ab + b^2$

Полученное выражение совпадает с правой частью формулы.

Ответ: Формула доказана.

3) $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2;$

Докажем формулу, раскрыв квадрат разности в левой части:

$(a-b)^2 = (a-b)(a-b) = a \cdot a + a \cdot (-b) - b \cdot a - b \cdot (-b) = a^2 - ab - ab + b^2$

Приводим подобные слагаемые:

$a^2 - 2ab + b^2$

Левая часть тождественно равна правой.

Ответ: Формула доказана.

4) $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2);$

Для доказательства раскроем скобки в правой части выражения:

$(a+b)(a^2-ab+b^2) = a(a^2-ab+b^2) + b(a^2-ab+b^2)$

$= (a^3 - a^2b + ab^2) + (a^2b - ab^2 + b^3)$

Сгруппируем и сократим подобные члены:

$a^3 - a^2b + a^2b + ab^2 - ab^2 + b^3 = a^3 + b^3$

Правая часть равна левой, формула доказана.

Ответ: Формула доказана.

5) $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2);$

Докажем тождество, раскрыв скобки в правой части:

$(a-b)(a^2+ab+b^2) = a(a^2+ab+b^2) - b(a^2+ab+b^2)$

$= (a^3 + a^2b + ab^2) - (a^2b + ab^2 + b^3)$

Раскроем вторые скобки и приведем подобные:

$a^3 + a^2b + ab^2 - a^2b - ab^2 - b^3 = a^3 - b^3$

Получили выражение, стоящее в левой части.

Ответ: Формула доказана.

6) $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3;$

Для доказательства представим куб суммы как произведение квадрата суммы на $(a+b)$ и воспользуемся уже доказанной формулой $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$:

$(a+b)^3 = (a+b)(a+b)^2 = (a+b)(a^2+2ab+b^2)$

Теперь раскроем скобки:

$a(a^2+2ab+b^2) + b(a^2+2ab+b^2) = (a^3 + 2a^2b + ab^2) + (a^2b + 2ab^2 + b^3)$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$a^3 + (2a^2b + a^2b) + (ab^2 + 2ab^2) + b^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$

Левая часть равна правой, формула доказана.

Ответ: Формула доказана.

7) $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3;$

Докажем формулу, представив куб разности как произведение квадрата разности на $(a-b)$ и используя формулу $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$:

$(a-b)^3 = (a-b)(a-b)^2 = (a-b)(a^2-2ab+b^2)$

Раскроем скобки:

$a(a^2-2ab+b^2) - b(a^2-2ab+b^2) = (a^3 - 2a^2b + ab^2) - (a^2b - 2ab^2 + b^3)$

Раскроем вторые скобки и приведем подобные:

$a^3 - 2a^2b + ab^2 - a^2b + 2ab^2 - b^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$

Формула доказана.

Ответ: Формула доказана.

8) $(a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc;$

Для доказательства раскроем квадрат суммы трех слагаемых в левой части как произведение двух одинаковых скобок:

$(a+b+c)^2 = (a+b+c)(a+b+c)$

Умножим каждый член первой скобки на каждый член второй:

$a(a+b+c) + b(a+b+c) + c(a+b+c) = (a^2+ab+ac) + (ba+b^2+bc) + (ca+cb+c^2)$

Сгруппируем слагаемые и приведем подобные:

$a^2+b^2+c^2 + (ab+ba) + (ac+ca) + (bc+cb) = a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc$

Полученное выражение совпадает с правой частью формулы.

Ответ: Формула доказана.

9) $a^n - 1 = (a - 1)(a^{n-1}+a^{n-2} + ... + a + 1);$

Докажем тождество, раскрыв скобки в правой части:

$(a - 1)(a^{n-1}+a^{n-2} + ... + a + 1) = a(a^{n-1}+a^{n-2} + ... + a + 1) - 1(a^{n-1}+a^{n-2} + ... + a + 1)$

Выполним умножение:

$= (a^n + a^{n-1} + a^{n-2} + ... + a^2 + a) - (a^{n-1} + a^{n-2} + ... + a + 1)$

Раскроем скобки и увидим, что все промежуточные члены взаимно уничтожаются:

$a^n + a^{n-1} - a^{n-1} + a^{n-2} - a^{n-2} + ... + a - a - 1 = a^n - 1$

Правая часть равна левой.

Ответ: Формула доказана.

10) $a^n - b^n = (a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+...+ab^{n-2}+b^{n-1});$

Для доказательства раскроем скобки в правой части выражения:

$(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+...+b^{n-1}) = a(a^{n-1}+a^{n-2}b+...+b^{n-1}) - b(a^{n-1}+a^{n-2}b+...+b^{n-1})$

Выполним умножение для каждого слагаемого:

$a(a^{n-1}+a^{n-2}b+...+b^{n-1}) = a^n + a^{n-1}b + a^{n-2}b^2 + ... + ab^{n-1}$

$- b(a^{n-1}+a^{n-2}b+...+b^{n-1}) = - a^{n-1}b - a^{n-2}b^2 - ... - ab^{n-1} - b^n$

Сложим полученные выражения. Все слагаемые вида $a^{n-k}b^k$ для $k$ от 1 до $n-1$ взаимно уничтожаются (например, $a^{n-1}b$ и $-a^{n-1}b$):

$(a^n + a^{n-1}b + ... + ab^{n-1}) + (-a^{n-1}b - ... - ab^{n-1} - b^n) = a^n - b^n$

Правая часть равна левой.

Ответ: Формула доказана.

11) $a^{2n+1} + 1 = (a+1)(a^{2n}-a^{2n-1}+...+a^2-a+1);$

Докажем тождество, раскрыв скобки в правой части. Отметим, что во второй скобке знаки чередуются.

$(a+1)(a^{2n}-a^{2n-1}+...+a^2-a+1) = a(a^{2n}-a^{2n-1}+...) + 1(a^{2n}-a^{2n-1}+...)$

Выполним умножение:

$a(a^{2n}-a^{2n-1}+...+a^2-a+1) = a^{2n+1} - a^{2n} + a^{2n-1} - ... + a^3 - a^2 + a$

$1(a^{2n}-a^{2n-1}+...+a^2-a+1) = a^{2n} - a^{2n-1} + ... - a^3 + a^2 - a + 1$

Сложим полученные выражения. Благодаря чередованию знаков все промежуточные члены сокращаются:

$(a^{2n+1} - a^{2n} + a^{2n-1} - ...) + (a^{2n} - a^{2n-1} + ...) = a^{2n+1} + 1$

Например, $-a^{2n}$ сокращается с $a^{2n}$, $a^{2n-1}$ с $-a^{2n-1}$ и так далее, до $+a$ и $-a$.

Ответ: Формула доказана.

12) $a^{2n+1} + b^{2n+1} = (a+b)(a^{2n}-a^{2n-1}b+...+b^{2n});$

Эта формула является обобщением предыдущей и доказывается аналогично. Раскроем скобки в правой части:

$(a+b)(a^{2n}-a^{2n-1}b+...+b^{2n}) = a(a^{2n}-a^{2n-1}b+...-ab^{2n-1}+b^{2n}) + b(a^{2n}-a^{2n-1}b+...+b^{2n})$

Выполним умножение:

$a(a^{2n}-a^{2n-1}b+...-ab^{2n-1}+b^{2n}) = a^{2n+1} - a^{2n}b + a^{2n-1}b^2 - ... + ab^{2n}$

$b(a^{2n}-a^{2n-1}b+...+b^{2n}) = a^{2n}b - a^{2n-1}b^2 + ... - ab^{2n} + b^{2n+1}$

Сложим полученные выражения. Все промежуточные члены взаимно уничтожаются (например, $-a^{2n}b$ и $a^{2n}b$, $a^{2n-1}b^2$ и $-a^{2n-1}b^2$ и т.д.):

$a^{2n+1} + b^{2n+1}$

Правая часть тождественно равна левой.

Ответ: Формула доказана.