Номер 6.21, страница 198 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.21. Докажите, что, если $k^2-ac>0$, то корни уравнения $ax^2+2kx+c=0$ определяются по формулам

$x_1 = \frac{-k - \sqrt{k^2 - ac}}{a}$

$x_2 = \frac{-k + \sqrt{k^2 - ac}}{a}$

Для доказательства воспользуемся стандартной формулой для нахождения корней квадратного уравнения вида $Ax^2 + Bx + C = 0$, которая имеет вид:

$x_{1,2} = \frac{-B \pm \sqrt{B^2 - 4AC}}{2A}$

В данном нам уравнении $ax^2 + 2kx + c = 0$ коэффициенты равны:

$A = a$

$B = 2k$

$C = c$

Подставим эти коэффициенты в общую формулу корней квадратного уравнения:

$x_{1,2} = \frac{-(2k) \pm \sqrt{(2k)^2 - 4ac}}{2a}$

Теперь упростим полученное выражение. Сначала возведем в квадрат выражение в подкоренном выражении (дискриминанте):

$x_{1,2} = \frac{-2k \pm \sqrt{4k^2 - 4ac}}{2a}$

В подкоренном выражении можно вынести общий множитель 4 за скобки:

$x_{1,2} = \frac{-2k \pm \sqrt{4(k^2 - ac)}}{2a}$

Извлечем корень из 4:

$x_{1,2} = \frac{-2k \pm 2\sqrt{k^2 - ac}}{2a}$

Условие $k^2 - ac > 0$ гарантирует, что выражение под корнем положительно, а значит, уравнение имеет два различных действительных корня.

Теперь вынесем общий множитель 2 в числителе за скобки и сократим дробь:

$x_{1,2} = \frac{2(-k \pm \sqrt{k^2 - ac})}{2a} = \frac{-k \pm \sqrt{k^2 - ac}}{a}$

Таким образом, мы получили две формулы для корней уравнения, разделив выражение на два случая (с плюсом и с минусом):

$x_1 = \frac{-k - \sqrt{k^2 - ac}}{a}$

$x_2 = \frac{-k + \sqrt{k^2 - ac}}{a}$

Эти формулы полностью совпадают с теми, что даны в условии задачи. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что если $k^2-ac>0$, то корни уравнения $ax^2+2kx+c=0$ определяются по формулам $x_1 = \frac{-k - \sqrt{k^2 - ac}}{a}$ и $x_2 = \frac{-k + \sqrt{k^2 - ac}}{a}$.