Номер 6.22, страница 198 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.22. Докажите теорему Виета.

Теорема Виета устанавливает связь между корнями многочлена и его коэффициентами. Для наиболее распространенного случая — квадратного уравнения — теорема формулируется и доказывается следующим образом.

Формулировка теоремы Виета для квадратного уравнения

Если $x_1$ и $x_2$ являются корнями квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ (где $a \neq 0$), то их сумма и произведение связаны с коэффициентами уравнения следующими соотношениями:

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$

Доказательство

Докажем эту теорему, используя теорему о разложении квадратного трехчлена на множители. Согласно этой теореме, если квадратный трехчлен $ax^2 + bx + c$ имеет корни $x_1$ и $x_2$, то его можно представить в виде тождества:

$ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$

Раскроем скобки в правой части этого равенства:

$a(x - x_1)(x - x_2) = a(x^2 - x_1x - x_2x + x_1x_2) = a(x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1x_2)$

Умножим выражение в скобках на коэффициент $a$:

$ax^2 - a(x_1 + x_2)x + a(x_1x_2)$

Теперь мы можем приравнять исходный многочлен и полученное выражение, так как они тождественно равны:

$ax^2 + bx + c \equiv ax^2 - a(x_1 + x_2)x + a(x_1x_2)$

Два многочлена тождественно равны тогда и только тогда, когда равны их коэффициенты при одинаковых степенях переменной $x$. Сравним коэффициенты при $x$ и свободные члены.

1. Приравняем коэффициенты при $x$ в первой степени:

$b = -a(x_1 + x_2)$

Так как по определению квадратного уравнения $a \neq 0$, мы можем разделить обе части на $-a$:

$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$

Первое соотношение теоремы доказано.

2. Приравняем свободные члены (коэффициенты при $x^0$):

$c = a(x_1x_2)$

Разделим обе части на $a$:

$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$

Второе соотношение также доказано. Таким образом, теорема Виета полностью доказана.

Следствие для приведенного квадратного уравнения

Для приведенного квадратного уравнения вида $x^2 + px + q = 0$, которое является частным случаем общего, где $a=1, b=p, c=q$, формулы Виета упрощаются:

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -p$

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = q$

Ответ: Доказано, что для корней $x_1$ и $x_2$ квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ выполняются соотношения: $x_1 + x_2 = -b/a$ и $x_1 \cdot x_2 = c/a$.