Номер 6.29, страница 199 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.29. Не решая уравнения $3x^2-x-1=0$, найдите для его корней $x_1$ и $x_2$ значение выражения:

1) $x_1+x_2;$

2) $x_1x_2;$

3) $x_1^2+x_2^2;$

4) $x_1^2+2x_1x_2+x_2^2;$

5) $x_1^3+3x_1^2x_2+3x_1x_2^2+x_2^3;$

6) $x_1x_2^4+x_1^4x_2;$

7) $\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}.$

Для решения данной задачи воспользуемся теоремой Виета для квадратного уравнения вида $ax^2+bx+c=0$. Согласно этой теореме, сумма корней $x_1+x_2 = -b/a$, а произведение корней $x_1x_2 = c/a$.

В заданном уравнении $3x^2-x-1=0$ коэффициенты равны $a=3$, $b=-1$, $c=-1$.
Следовательно, сумма и произведение его корней $x_1$ и $x_2$ равны:
$x_1+x_2 = - \frac{-1}{3} = \frac{1}{3}$
$x_1x_2 = \frac{-1}{3} = -\frac{1}{3}$
Используя эти два значения, найдем значения требуемых выражений.

1) $x_1+x_2$;
Это значение напрямую следует из теоремы Виета.
$x_1+x_2 = \frac{1}{3}$.
Ответ: $\frac{1}{3}$.

2) $x_1x_2$;
Это значение также напрямую следует из теоремы Виета.
$x_1x_2 = -\frac{1}{3}$.
Ответ: $-\frac{1}{3}$.

3) $x_1^2+x_2^2$;
Преобразуем выражение, выделив полный квадрат суммы: $x_1^2+x_2^2 = x_1^2+2x_1x_2+x_2^2 - 2x_1x_2 = (x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2$.
Подставим ранее найденные значения суммы и произведения корней:
$(\frac{1}{3})^2 - 2(-\frac{1}{3}) = \frac{1}{9} + \frac{2}{3} = \frac{1}{9} + \frac{6}{9} = \frac{7}{9}$.
Ответ: $\frac{7}{9}$.

4) $x_1^2+2x_1x_2+x_2^2$;
Данное выражение представляет собой формулу квадрата суммы: $(x_1+x_2)^2$.
Подставим значение суммы корней:
$(\frac{1}{3})^2 = \frac{1}{9}$.
Ответ: $\frac{1}{9}$.

5) $x_1^3+3x_1^2x_2+3x_1x_2^2+x_2^3$;
Данное выражение представляет собой формулу куба суммы: $(x_1+x_2)^3$.
Подставим значение суммы корней:
$(\frac{1}{3})^3 = \frac{1}{27}$.
Ответ: $\frac{1}{27}$.

6) $x_1x_2^4+x_1^4x_2$;
Вынесем общий множитель $x_1x_2$ за скобки: $x_1x_2(x_2^3+x_1^3)$.
Сначала найдем значение суммы кубов $x_1^3+x_2^3$. Используем тождество: $x_1^3+x_2^3 = (x_1+x_2)^3 - 3x_1x_2(x_1+x_2)$.
Подставим известные значения:
$x_1^3+x_2^3 = (\frac{1}{3})^3 - 3(-\frac{1}{3})(\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} + \frac{1}{3} = \frac{1}{27} + \frac{9}{27} = \frac{10}{27}$.
Теперь вычислим исходное выражение:
$x_1x_2(x_1^3+x_2^3) = (-\frac{1}{3}) \cdot \frac{10}{27} = -\frac{10}{81}$.
Ответ: $-\frac{10}{81}$.

7) $\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}$.
Приведем дроби к общему знаменателю $x_1x_2$: $\frac{x_1^2+x_2^2}{x_1x_2}$.
Мы уже вычислили значение числителя в пункте 3): $x_1^2+x_2^2 = \frac{7}{9}$.
Знаменатель равен произведению корней: $x_1x_2 = -\frac{1}{3}$.
Подставим значения в выражение:
$\frac{\frac{7}{9}}{-\frac{1}{3}} = \frac{7}{9} \cdot (-\frac{3}{1}) = -\frac{21}{9} = -\frac{7}{3}$.
Ответ: $-\frac{7}{3}$.