Номер 6.35, страница 199 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.35. Если $\alpha$ является целым корнем многочлена $f(x)=x^n + a_1x^{n-1}+...+a_{n-1}x+a_n$, где $a_1, a_2, ..., a_n$ - целые числа, то $a_n$ делится на $\alpha$ без остатка. Докажите.

Это утверждение известно как следствие из теоремы о рациональных корнях многочлена. Докажем его.

Пусть дан многочлен $f(x) = x^n + a_1x^{n-1} + \dots + a_{n-1}x + a_n$, где все коэффициенты $a_1, a_2, \dots, a_n$ являются целыми числами.

Пусть $\alpha$ — целый корень этого многочлена. По определению корня, это означает, что при подстановке значения $\alpha$ вместо $x$ многочлен обращается в ноль:

$f(\alpha) = 0$

Запишем это равенство в развернутом виде:

$\alpha^n + a_1\alpha^{n-1} + a_2\alpha^{n-2} + \dots + a_{n-1}\alpha + a_n = 0$

Наша цель — доказать, что $a_n$ делится на $\alpha$. Для этого выразим $a_n$ из полученного уравнения. Перенесем все слагаемые, кроме $a_n$, в правую часть равенства, изменив их знак:

$a_n = -\alpha^n - a_1\alpha^{n-1} - a_2\alpha^{n-2} - \dots - a_{n-1}\alpha$

Заметим, что каждый член в правой части выражения содержит множитель $\alpha$. Вынесем этот общий множитель за скобки:

$a_n = \alpha \cdot (-\alpha^{n-1} - a_1\alpha^{n-2} - a_2\alpha^{n-3} - \dots - a_{n-1})$

Теперь проанализируем выражение в скобках. Обозначим его через $K$:

$K = -\alpha^{n-1} - a_1\alpha^{n-2} - a_2\alpha^{n-3} - \dots - a_{n-1}$

По условию, $\alpha$ — целое число. Следовательно, любая его натуральная степень ($\alpha^k$) также является целым числом. Коэффициенты $a_1, a_2, \dots, a_{n-1}$ по условию тоже целые. Произведение целых чисел (например, $a_1\alpha^{n-2}$) есть целое число. Сумма (и разность) целых чисел также является целым числом. Таким образом, $K$ является целым числом.

Мы получили, что $a_n = \alpha \cdot K$, где $K$ — некоторое целое число. По определению делимости, это означает, что число $a_n$ делится нацело на число $\alpha$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказательство основано на определении корня многочлена. Если $\alpha$ — целый корень многочлена $f(x) = x^n + a_1x^{n-1} + \dots + a_n$ с целыми коэффициентами, то $f(\alpha) = 0$. Запишем это равенство: $\alpha^n + a_1\alpha^{n-1} + \dots + a_{n-1}\alpha + a_n = 0$. Перенеся все члены, кроме $a_n$, в правую часть, получим $a_n = -(\alpha^n + a_1\alpha^{n-1} + \dots + a_{n-1}\alpha)$. Вынесем $\alpha$ за скобки: $a_n = \alpha \cdot (-\alpha^{n-1} - a_1\alpha^{n-2} - \dots - a_{n-1})$. Так как $\alpha$ и все коэффициенты $a_i$ — целые числа, выражение в скобках также является целым числом. Обозначив его $K$, мы получаем $a_n = \alpha \cdot K$, где $K$ — целое. Это по определению означает, что $a_n$ делится на $\alpha$ без остатка.