Номер 6.39, страница 200 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.39. Решите уравнения:

1) $\frac{3x+1}{5x-6}=0$;

2) $\frac{9x^2-1}{3x+1}=0$;

3) $\frac{5x+7}{49-25x^2}=0$;

4) $\frac{x^2-3x}{x^2+7x-30}=\frac{5x^2-x-42}{x^2+7x-30}$;

5) $x^2+\frac{3x-1}{x+4}=16-\frac{1-3x}{x+4}$;

6) $\frac{1}{3x+2}+\frac{3}{5x+6}=\frac{2}{7x+8}$;

7) $\frac{12}{x^2-9}+\frac{x}{x+3}=\frac{2}{x-3}$.

1) $\frac{3x + 1}{5x - 6} = 0$

Рациональное уравнение равно нулю, когда его числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Это можно записать в виде системы условий:

$\begin{cases} 3x + 1 = 0 \\ 5x - 6 \neq 0 \end{cases}$

Решаем первое уравнение:

$3x = -1$

$x = -\frac{1}{3}$

Подставим найденное значение $x$ во второе условие, чтобы проверить, не обращается ли знаменатель в ноль:

$5(-\frac{1}{3}) - 6 = -\frac{5}{3} - 6 = -\frac{5}{3} - \frac{18}{3} = -\frac{23}{3}$

Так как $-\frac{23}{3} \neq 0$, условие выполняется. Значит, $x = -\frac{1}{3}$ является решением уравнения.

Ответ: $-\frac{1}{3}$

2) $\frac{9x^2 - 1}{3x + 1} = 0$

Уравнение имеет смысл, если знаменатель не равен нулю. Числитель при этом должен быть равен нулю.

$\begin{cases} 9x^2 - 1 = 0 \\ 3x + 1 \neq 0 \end{cases}$

Решаем первое уравнение, используя формулу разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$:

$(3x - 1)(3x + 1) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:

$3x - 1 = 0$ или $3x + 1 = 0$

$3x = 1$ или $3x = -1$

$x_1 = \frac{1}{3}$ или $x_2 = -\frac{1}{3}$

Теперь проверим второе условие системы: $3x + 1 \neq 0$, что означает $x \neq -\frac{1}{3}$.

Сравнивая наши корни с этим ограничением, мы видим, что корень $x_2 = -\frac{1}{3}$ является посторонним. Единственным решением является $x = \frac{1}{3}$.

Ответ: $\frac{1}{3}$

3) $\frac{5x + 7}{49 - 25x^2} = 0$

Составляем систему условий:

$\begin{cases} 5x + 7 = 0 \\ 49 - 25x^2 \neq 0 \end{cases}$

Из первого уравнения:

$5x = -7$

$x = -\frac{7}{5}$

Решаем второе условие (ограничение):

$49 - 25x^2 \neq 0$

$49 \neq 25x^2$

$x^2 \neq \frac{49}{25}$

$x \neq \pm \frac{7}{5}$

Полученный нами корень $x = -\frac{7}{5}$ совпадает с одним из значений, которые недопустимы. Следовательно, уравнение не имеет корней.

Ответ: нет корней

4) $\frac{x^2 - 3x}{x^2 + 7x - 30} = \frac{5x^2 - x - 42}{x^2 + 7x - 30}$

Поскольку знаменатели дробей одинаковы, мы можем приравнять их числители, но сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ), исключив значения $x$, при которых знаменатель обращается в ноль.

$x^2 + 7x - 30 \neq 0$

Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 + 7x - 30 = 0$ по теореме Виета:

$x_1 + x_2 = -7$ и $x_1 \cdot x_2 = -30$. Корни: $x_1 = -10$ и $x_2 = 3$.

Значит, ОДЗ: $x \neq -10$ и $x \neq 3$.

Теперь приравниваем числители:

$x^2 - 3x = 5x^2 - x - 42$

Переносим все члены в одну сторону:

$4x^2 + 2x - 42 = 0$

Разделим уравнение на 2 для упрощения:

$2x^2 + x - 21 = 0$

Решаем квадратное уравнение через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4(2)(-21) = 1 + 168 = 169 = 13^2$

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm 13}{4}$

$x_1 = \frac{-1 + 13}{4} = \frac{12}{4} = 3$

$x_2 = \frac{-1 - 13}{4} = \frac{-14}{4} = -\frac{7}{2} = -3.5$

Проверяем корни на соответствие ОДЗ. Корень $x_1 = 3$ не входит в ОДЗ, поэтому он является посторонним. Корень $x_2 = -3.5$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $-3.5$

5) $x^2 + \frac{3x - 1}{x + 4} = 16 - \frac{1 - 3x}{x + 4}$

Преобразуем правую часть уравнения: $16 - \frac{1 - 3x}{x + 4} = 16 + \frac{-(1-3x)}{x+4} = 16 + \frac{3x - 1}{x+4}$.

Уравнение принимает вид:

$x^2 + \frac{3x - 1}{x + 4} = 16 + \frac{3x - 1}{x + 4}$

ОДЗ: $x + 4 \neq 0$, то есть $x \neq -4$.

Вычтем из обеих частей уравнения одинаковое слагаемое $\frac{3x - 1}{x + 4}$:

$x^2 = 16$

Отсюда получаем два корня: $x_1 = 4$ и $x_2 = -4$.

Проверяем корни по ОДЗ. Корень $x_1 = 4$ удовлетворяет условию $x \neq -4$. Корень $x_2 = -4$ не удовлетворяет ОДЗ и является посторонним.

Ответ: $4$

6) $\frac{1}{3x + 2} + \frac{3}{5x + 6} = \frac{2}{7x + 8}$

ОДЗ: $3x+2 \neq 0 \Rightarrow x \neq -\frac{2}{3}$; $5x+6 \neq 0 \Rightarrow x \neq -\frac{6}{5}$; $7x+8 \neq 0 \Rightarrow x \neq -\frac{8}{7}$.

Приведем левую часть к общему знаменателю:

$\frac{1(5x+6) + 3(3x+2)}{(3x+2)(5x+6)} = \frac{2}{7x+8}$

$\frac{5x+6 + 9x+6}{15x^2+18x+10x+12} = \frac{2}{7x+8}$

$\frac{14x+12}{15x^2+28x+12} = \frac{2}{7x+8}$

Воспользуемся свойством пропорции (перекрестное умножение):

$(14x+12)(7x+8) = 2(15x^2+28x+12)$

Заметим, что $14x+12 = 2(7x+6)$, подставим в уравнение:

$2(7x+6)(7x+8) = 2(15x^2+28x+12)$

Разделим обе части на 2:

$(7x+6)(7x+8) = 15x^2+28x+12$

$49x^2 + 56x + 42x + 48 = 15x^2+28x+12$

$49x^2 + 98x + 48 = 15x^2+28x+12$

Перенесем все в левую часть:

$34x^2 + 70x + 36 = 0$

Разделим на 2:

$17x^2 + 35x + 18 = 0$

Решаем через дискриминант:

$D = 35^2 - 4 \cdot 17 \cdot 18 = 1225 - 1224 = 1$

$x_{1,2} = \frac{-35 \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 17} = \frac{-35 \pm 1}{34}$

$x_1 = \frac{-35+1}{34} = \frac{-34}{34} = -1$

$x_2 = \frac{-35-1}{34} = \frac{-36}{34} = -\frac{18}{17}$

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $-1; -\frac{18}{17}$

7) $\frac{12}{x^2 - 9} + \frac{x}{x + 3} = \frac{2}{x - 3}$

Разложим знаменатель $x^2-9$ на множители: $x^2-9=(x-3)(x+3)$.

$\frac{12}{(x-3)(x+3)} + \frac{x}{x+3} = \frac{2}{x-3}$

ОДЗ: $x-3 \neq 0 \Rightarrow x \neq 3$ и $x+3 \neq 0 \Rightarrow x \neq -3$.

Умножим все уравнение на общий знаменатель $(x-3)(x+3)$, чтобы избавиться от дробей:

$12 + x(x-3) = 2(x+3)$

Раскроем скобки:

$12 + x^2 - 3x = 2x + 6$

Перенесем все члены в левую часть:

$x^2 - 3x - 2x + 12 - 6 = 0$

$x^2 - 5x + 6 = 0$

По теореме Виета:

$x_1+x_2 = 5$ и $x_1 \cdot x_2 = 6$. Корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = 3$.

Сверяем корни с ОДЗ. Корень $x_1 = 2$ удовлетворяет условиям. Корень $x_2 = 3$ не удовлетворяет ОДЗ ($x \neq 3$), поэтому он является посторонним.

Ответ: $2$