Номер 6.34, страница 199 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.34. Докажите, что при делении многочлена $f(x)$ на двучлен $x-a$ в остатке получится $f(a)$.

Данное утверждение известно как теорема Безу (или теорема об остатке). Для его доказательства воспользуемся определением деления многочлена с остатком.

При делении любого многочлена $f(x)$ (делимое) на ненулевой многочлен-делитель $d(x)$ существуют единственные многочлены $q(x)$ (частное) и $r(x)$ (остаток), такие, что выполняется равенство: $f(x) = d(x) \cdot q(x) + r(x)$

При этом степень многочлена-остатка $r(x)$ всегда строго меньше степени многочлена-делителя $d(x)$.

В рассматриваемой задаче мы делим многочлен $f(x)$ на двучлен (бином) $x-a$. Делитель $d(x) = x-a$ является многочленом первой степени, так как наивысшая степень переменной $x$ равна 1.

Согласно свойству деления многочленов, степень остатка $r(x)$ должна быть строго меньше степени делителя $d(x) = x-a$. Поскольку степень $d(x)$ равна 1, степень остатка $r(x)$ должна быть меньше 1, то есть быть равной 0. Многочлен нулевой степени является константой (числом). Обозначим этот остаток буквой $R$.

Таким образом, равенство для деления многочлена $f(x)$ на $x-a$ принимает вид: $f(x) = (x-a) \cdot q(x) + R$ где $q(x)$ — это частное от деления, а $R$ — остаток, который является некоторым числом.

Это равенство является тождеством, то есть оно справедливо для любого значения переменной $x$. Чтобы найти $R$, мы можем подставить в это тождество такое значение $x$, которое упростит выражение. Наиболее удобным значением является $x=a$, так как при этом множитель $(x-a)$ обратится в ноль.

Подставим $x=a$ в тождество: $f(a) = (a-a) \cdot q(a) + R$

Выполним вычисления в правой части равенства: $f(a) = 0 \cdot q(a) + R$ $f(a) = 0 + R$ $f(a) = R$

Мы получили, что остаток $R$ от деления многочлена $f(x)$ на двучлен $x-a$ в точности равен значению этого многочлена в точке $x=a$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Остаток от деления многочлена $f(x)$ на двучлен $x-a$ равен $f(a)$.