Номер 6.31, страница 199 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.31. Решите систему уравнений:

1) $\begin{cases} x + y = 7, \\ xy = 6; \end{cases}$

2) $\begin{cases} x + 2y = 7, \\ xy = 3; \end{cases}$

3) $\begin{cases} x - 3y = 7, \\ xy = -2; \end{cases}$

4) $\begin{cases} x + y + xy = 11, \\ xy(x + y) = 30. \end{cases}$

1)

Дана система уравнений: $\begin{cases} x + y = 7, \\ xy = 6. \end{cases}$

Эта система является симметрической. Согласно обратной теореме Виета, переменные $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - (x+y)t + xy = 0$.

Подставим в это уравнение известные значения из системы: $x+y=7$ и $xy=6$. Получим уравнение: $t^2 - 7t + 6 = 0$.

Корнями этого уравнения являются $t_1 = 1$ и $t_2 = 6$. Это можно найти, например, разложив на множители: $(t-1)(t-6)=0$.

Следовательно, решениями системы являются пары чисел $(x, y)$, где $x$ и $y$ принимают значения $1$ и $6$. Это пары $(1, 6)$ и $(6, 1)$.

Ответ: $(1, 6), (6, 1)$.

2)

Дана система уравнений: $\begin{cases} x + 2y = 7, \\ xy = 3. \end{cases}$

Решим систему методом подстановки. Из первого уравнения выразим $x$ через $y$: $x = 7 - 2y$.

Подставим полученное выражение для $x$ во второе уравнение системы: $(7 - 2y)y = 3$.

Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному квадратному виду: $7y - 2y^2 = 3$, что равносильно $2y^2 - 7y + 3 = 0$.

Решим полученное квадратное уравнение относительно $y$. Дискриминант $D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 49 - 24 = 25 = 5^2$.

Корни уравнения для $y$: $y_1 = \frac{7 - 5}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ и $y_2 = \frac{7 + 5}{2 \cdot 2} = \frac{12}{4} = 3$.

Теперь найдем соответствующие значения $x$ для каждого найденного $y$, используя формулу $x = 7 - 2y$.

Если $y_1 = \frac{1}{2}$, то $x_1 = 7 - 2 \cdot \frac{1}{2} = 7 - 1 = 6$.

Если $y_2 = 3$, то $x_2 = 7 - 2 \cdot 3 = 7 - 6 = 1$.

Таким образом, мы получили две пары решений.

Ответ: $(6, \frac{1}{2}), (1, 3)$.

3)

Дана система уравнений: $\begin{cases} x - 3y = 7, \\ xy = -2. \end{cases}$

Воспользуемся методом подстановки. Из первого уравнения выразим $x$: $x = 7 + 3y$.

Подставим это выражение во второе уравнение: $(7 + 3y)y = -2$.

Раскроем скобки и преобразуем уравнение: $7y + 3y^2 = -2$, или $3y^2 + 7y + 2 = 0$.

Решим это квадратное уравнение относительно $y$. Дискриминант $D = 7^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 49 - 24 = 25 = 5^2$.

Корни уравнения: $y_1 = \frac{-7 - 5}{2 \cdot 3} = \frac{-12}{6} = -2$ и $y_2 = \frac{-7 + 5}{2 \cdot 3} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$.

Для каждого значения $y$ найдем соответствующее значение $x$ по формуле $x = 7 + 3y$.

Если $y_1 = -2$, то $x_1 = 7 + 3(-2) = 7 - 6 = 1$.

Если $y_2 = -\frac{1}{3}$, то $x_2 = 7 + 3(-\frac{1}{3}) = 7 - 1 = 6$.

Получили две пары решений.

Ответ: $(1, -2), (6, -\frac{1}{3})$.

4)

Дана система уравнений: $\begin{cases} x + y + xy = 11, \\ xy(x+y) = 30. \end{cases}$

Эта система является симметрической относительно переменных $x$ и $y$. Для ее решения введем новые переменные: пусть $u = x+y$ и $v = xy$.

В новых переменных система примет вид: $\begin{cases} u + v = 11, \\ uv = 30. \end{cases}$

Согласно обратной теореме Виета, $u$ и $v$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - (u+v)t + uv = 0$, то есть $t^2 - 11t + 30 = 0$.

Корни этого уравнения $t_1=5$ и $t_2=6$. Это означает, что возможны два случая для значений $u$ и $v$:

1. $u = 5$ и $v = 6$.

2. $u = 6$ и $v = 5$.

Рассмотрим каждый случай отдельно, выполнив обратную замену.

Случай 1: $x+y=5$ и $xy=6$.

Переменные $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $z^2 - 5z + 6 = 0$. Корни этого уравнения $z_1=2$ и $z_2=3$. Таким образом, получаем две пары решений: $(2, 3)$ и $(3, 2)$.

Случай 2: $x+y=6$ и $xy=5$.

Переменные $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $z^2 - 6z + 5 = 0$. Корни этого уравнения $z_1=1$ и $z_2=5$. Таким образом, получаем еще две пары решений: $(1, 5)$ и $(5, 1)$.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем полный набор решений исходной системы.

Ответ: $(2, 3), (3, 2), (1, 5), (5, 1)$.