Номер 6.28, страница 199 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.28. При каких значениях $a$ уравнение $(x^2-3x-4)(x^2-a)=0$ имеет ровно 3 корня?

Исходное уравнение $(x^2-3x-4)(x^2-a)=0$ эквивалентно совокупности двух уравнений, так как произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

1) $x^2-3x-4=0$

2) $x^2-a=0$

Для того чтобы исходное уравнение имело ровно 3 различных корня, необходимо, чтобы совокупность этих двух уравнений имела ровно 3 различных решения.

Решим первое уравнение: $x^2-3x-4=0$.

Найдем его корни с помощью дискриминанта: $D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25$.

Корни уравнения: $x_1 = \frac{3 + \sqrt{25}}{2} = \frac{3+5}{2} = 4$ и $x_2 = \frac{3 - \sqrt{25}}{2} = \frac{3-5}{2} = -1$.

Таким образом, первое уравнение всегда дает два различных корня: $x=4$ и $x=-1$.

Теперь рассмотрим второе уравнение: $x^2-a=0$, что равносильно $x^2=a$.

Количество корней этого уравнения зависит от значения параметра $a$. Чтобы в сумме получилось 3 корня, рассмотрим следующие случаи.

Случай 1: Уравнение $x^2=a$ имеет один корень, который не совпадает с корнями первого уравнения.

Это возможно, если $a=0$. Тогда уравнение $x^2=0$ имеет один корень $x=0$. Корни первого уравнения — $4$ и $-1$. Так как $0 \ne 4$ и $0 \ne -1$, то общее число различных корней будет $2 + 1 = 3$. Следовательно, значение $a=0$ нам подходит.

Случай 2: Уравнение $x^2=a$ имеет два корня, один из которых совпадает с одним из корней первого уравнения.

Это возможно, если $a > 0$. Тогда уравнение $x^2=a$ имеет два различных корня: $x = \sqrt{a}$ и $x = -\sqrt{a}$. Чтобы общее число корней было равно трем, один из этих корней должен совпадать с $4$ или $-1$.

- Пусть один из корней второго уравнения совпадает с $x_1=4$.

$\sqrt{a} = 4 \Rightarrow a = 16$. При $a=16$ второе уравнение имеет корни $x=\pm 4$. Множество всех корней исходного уравнения: $\{-1, 4\} \cup \{-4, 4\} = \{-4, -1, 4\}$. В этом множестве ровно 3 элемента. Значение $a=16$ нам подходит.

$-\sqrt{a} = 4$ — это уравнение не имеет решений, так как $\sqrt{a} \ge 0$.

- Пусть один из корней второго уравнения совпадает с $x_2=-1$.

$-\sqrt{a} = -1 \Rightarrow \sqrt{a}=1 \Rightarrow a=1$. При $a=1$ второе уравнение имеет корни $x=\pm 1$. Множество всех корней исходного уравнения: $\{-1, 4\} \cup \{-1, 1\} = \{-1, 1, 4\}$. В этом множестве ровно 3 элемента. Значение $a=1$ нам подходит.

$\sqrt{a} = -1$ — это уравнение не имеет решений.

Если $a<0$, то второе уравнение не имеет действительных корней, и общее число корней будет равно 2, что не удовлетворяет условию.

Следовательно, уравнение имеет ровно 3 корня при трех значениях параметра $a$.

Ответ: $0; 1; 16$.