Номер 6.26, страница 199 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.26. Покажите, что числа $x_1 = -1$, $x_2 = -\frac{c}{a}$ являются корнями уравнения $ax^2 + bx + c = 0$, если $a - b + c = 0$.

Чтобы доказать, что числа $x_1 = -1$ и $x_2 = -\frac{c}{a}$ являются корнями уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ при условии $a - b + c = 0$, мы должны подставить каждое из этих чисел в уравнение и, используя данное условие, показать, что уравнение обращается в верное равенство.

Доказательство для корня $x_1 = -1$

Подставим значение $x_1 = -1$ в левую часть уравнения $ax^2 + bx + c = 0$:

$a(x_1)^2 + b(x_1) + c = a(-1)^2 + b(-1) + c = a \cdot 1 - b + c = a - b + c$.

Согласно условию задачи, выражение $a - b + c$ равно нулю. Таким образом, мы получаем:

$a - b + c = 0$.

Это соответствует правой части уравнения ($0$), следовательно, равенство $0 = 0$ выполняется. Это доказывает, что $x_1 = -1$ является корнем уравнения.

Доказательство для корня $x_2 = -\frac{c}{a}$

Теперь подставим значение $x_2 = -\frac{c}{a}$ в левую часть уравнения. Заметим, что это возможно при $a \neq 0$, что является необходимым условием для того, чтобы уравнение было квадратным.

$a(x_2)^2 + b(x_2) + c = a\left(-\frac{c}{a}\right)^2 + b\left(-\frac{c}{a}\right) + c$.

Упростим полученное выражение шаг за шагом:

$a\left(\frac{c^2}{a^2}\right) - \frac{bc}{a} + c = \frac{ac^2}{a^2} - \frac{bc}{a} + c = \frac{c^2}{a} - \frac{bc}{a} + c$.

Приведем все слагаемые к общему знаменателю $a$:

$\frac{c^2}{a} - \frac{bc}{a} + \frac{ac}{a} = \frac{c^2 - bc + ac}{a}$.

Вынесем в числителе общий множитель $c$ за скобки:

$\frac{c(c - b + a)}{a}$.

Снова воспользуемся условием $a - b + c = 0$. Выражение в скобках равно нулю. Подставим это значение:

$\frac{c \cdot 0}{a} = 0$.

Мы снова получили верное равенство $0 = 0$. Это доказывает, что $x_2 = -\frac{c}{a}$ также является корнем уравнения.

Ответ: Утверждение доказано. При выполнении условия $a - b + c = 0$ прямая подстановка чисел $x_1 = -1$ и $x_2 = -\frac{c}{a}$ в уравнение $ax^2 + bx + c = 0$ обращает его в верное равенство $0=0$, что подтверждает, что данные числа являются его корнями.