Номер 6.25, страница 198 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.25. Покажите, что числа $x_1 = 1$, $x_2 = -\frac{c}{a}$ являются корнями уравнения $ax^2 + bx + c = 0$, если $a + b + c = 0$.

Для того чтобы доказать, что числа $x_1 = 1$ и $x_2 = \frac{c}{a}$ являются корнями уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ при условии $a + b + c = 0$, необходимо показать, что при подстановке этих значений в уравнение оно обращается в верное равенство. Это можно сделать несколькими способами.

Способ 1: Прямая подстановка

Этот способ заключается в прямой подстановке значений $x_1$ и $x_2$ в исходное уравнение.

Проверка для корня $x_1 = 1$

Подставим значение $x = 1$ в левую часть уравнения $ax^2 + bx + c = 0$:

$a \cdot (1)^2 + b \cdot (1) + c = a + b + c$.

По условию задачи, сумма коэффициентов $a + b + c = 0$. Таким образом, мы получаем $0=0$, что является верным равенством. Это доказывает, что $x_1 = 1$ является корнем уравнения.

Проверка для корня $x_2 = \frac{c}{a}$

Подставим значение $x = \frac{c}{a}$ в левую часть уравнения. Заметим, что для существования такого корня и для того, чтобы уравнение было квадратным, должно выполняться условие $a \neq 0$.

$a \cdot \left(\frac{c}{a}\right)^2 + b \cdot \left(\frac{c}{a}\right) + c = a \cdot \frac{c^2}{a^2} + \frac{bc}{a} + c = \frac{c^2}{a} + \frac{bc}{a} + c$.

Приведем все слагаемые к общему знаменателю $a$:

$\frac{c^2}{a} + \frac{bc}{a} + \frac{ac}{a} = \frac{c^2 + bc + ac}{a}$.

Вынесем в числителе общий множитель $c$ за скобки:

$\frac{c(c + b + a)}{a}$.

Используя условие $a + b + c = 0$, подставим 0 вместо выражения в скобках:

$\frac{c \cdot 0}{a} = 0$.

Мы снова получили верное равенство $0=0$, что доказывает, что $x_2 = \frac{c}{a}$ также является корнем уравнения.

Способ 2: Использование теоремы Виета

Теорема Виета устанавливает связь между корнями $x_1, x_2$ и коэффициентами квадратного уравнения $ax^2+bx+c=0$:

$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$

$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$

Как мы уже доказали в первом способе, $x_1 = 1$ является корнем уравнения, так как $a+b+c=0$.

Используем вторую формулу Виета для произведения корней, чтобы найти второй корень $x_2$:

$1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$

Отсюда напрямую следует, что $x_2 = \frac{c}{a}$.

Это доказывает, что если один корень равен 1, то второй обязательно равен $\frac{c}{a}$.

Ответ: Мы показали двумя способами (прямой подстановкой и с использованием теоремы Виета), что если для квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ выполняется условие $a + b + c = 0$, то числа $x_1 = 1$ и $x_2 = \frac{c}{a}$ являются его корнями.