Номер 6.18, страница 198 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.18. Разложите выражения на множители:

1) $5xy^3+30x^2z^2-6x^3yz-25y^2z$

2) $15m^3n^2p-35p^2nq^3+25mn^3q^2-21m^2p^3q$

3) $32c^5-3^5$

4) $(4a)^5+(2b)^5$

5) $(2x)^6+(3y)^6$

1) Для разложения на множители выражения $5xy^3+30x^2z^2-6x^3yz-25y^2z$ используем метод группировки. Сгруппируем первое слагаемое с четвертым, а второе с третьим:
$(5xy^3 - 25y^2z) + (30x^2z^2 - 6x^3yz)$
Вынесем общие множители из каждой скобки. Из первой скобки вынесем $5y^2$, а из второй $6x^2z$:
$5y^2(xy - 5z) + 6x^2z(5z - xy)$
Заметим, что выражения в скобках отличаются только знаком. Вынесем $-1$ из второй скобки:
$5y^2(xy - 5z) - 6x^2z(xy - 5z)$
Теперь можно вынести общий множитель $(xy - 5z)$ за скобки:
$(xy - 5z)(5y^2 - 6x^2z)$
Ответ: $(xy - 5z)(5y^2 - 6x^2z)$

2) Разложим на множители выражение $15m^3n^2p-35p^2nq^3+25mn^3q^2-21m^2p^3q$. Перегруппируем слагаемые для удобства: сгруппируем первое с третьим, а второе с четвертым.
$(15m^3n^2p + 25mn^3q^2) + (-35p^2nq^3 - 21m^2p^3q)$
Вынесем общие множители из каждой группы. Из первой группы вынесем $5mn^2$, из второй $-7p^2q$:
$5mn^2(3m^2p + 5nq^2) - 7p^2q(5nq^2 + 3m^2p)$
Теперь вынесем общий множитель $(3m^2p + 5nq^2)$:
$(3m^2p + 5nq^2)(5mn^2 - 7p^2q)$
Ответ: $(3m^2p + 5nq^2)(5mn^2 - 7p^2q)$

3) Рассмотрим выражение $32c^5-3^5$. Представим $32$ как $2^5$:
$2^5c^5 - 3^5 = (2c)^5 - 3^5$
Это разность пятых степеней. Используем формулу разности степеней $a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+...+ab^{n-2}+b^{n-1})$. Для $n=5$ формула выглядит так:
$a^5 - b^5 = (a-b)(a^4+a^3b+a^2b^2+ab^3+b^4)$
В нашем случае $a=2c$ и $b=3$. Подставим эти значения в формулу:
$(2c - 3)((2c)^4 + (2c)^3 \cdot 3 + (2c)^2 \cdot 3^2 + (2c) \cdot 3^3 + 3^4)$
Упростим выражение во второй скобке:
$(2c - 3)(16c^4 + 8c^3 \cdot 3 + 4c^2 \cdot 9 + 2c \cdot 27 + 81)$
$(2c - 3)(16c^4 + 24c^3 + 36c^2 + 54c + 81)$
Ответ: $(2c - 3)(16c^4 + 24c^3 + 36c^2 + 54c + 81)$

4) Рассмотрим выражение $(4a)^5+(2b)^5$. Это сумма пятых степеней. Используем формулу суммы степеней для нечетного показателя $n$: $x^n+y^n=(x+y)(x^{n-1}-x^{n-2}y+...+y^{n-1})$. Для $n=5$ имеем:
$x^5 + y^5 = (x+y)(x^4-x^3y+x^2y^2-xy^3+y^4)$
В нашем случае $x=4a$ и $y=2b$.
Сначала можно вынести общий множитель: $(4a)^5+(2b)^5 = (2 \cdot 2a)^5 + (2b)^5 = 2^5(2a)^5 + 2^5b^5 = 32((2a)^5 + b^5)$.
Теперь применим формулу для $(2a)^5 + b^5$, где $x=2a$ и $y=b$:
$32(2a+b)((2a)^4 - (2a)^3b + (2a)^2b^2 - (2a)b^3 + b^4)$
Упростим выражение в последней скобке:
$32(2a+b)(16a^4 - 8a^3b + 4a^2b^2 - 2ab^3 + b^4)$
Ответ: $32(2a+b)(16a^4 - 8a^3b + 4a^2b^2 - 2ab^3 + b^4)$

5) Рассмотрим выражение $(2x)^6+(3y)^6$. Это сумма шестых степеней. Мы можем представить ее как сумму кубов:
$(2x)^6+(3y)^6 = ((2x)^2)^3 + ((3y)^2)^3 = (4x^2)^3 + (9y^2)^3$
Используем формулу суммы кубов $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$.
В нашем случае $a=4x^2$ и $b=9y^2$. Подставим в формулу:
$(4x^2 + 9y^2)((4x^2)^2 - (4x^2)(9y^2) + (9y^2)^2)$
Упростим выражение во второй скобке:
$(4x^2 + 9y^2)(16x^4 - 36x^2y^2 + 81y^4)$
Ответ: $(4x^2 + 9y^2)(16x^4 - 36x^2y^2 + 81y^4)$