Номер 6.15, страница 197 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.15. Постройте график функции:

1) $y = \sqrt{x}$;

2) $y = \sqrt{x^2}$;

3) $y = (\sqrt{x})^2$.

1) $y = \sqrt{x}$

Функция $y = \sqrt{x}$ определена для всех неотрицательных значений аргумента $x$, так как арифметический квадратный корень извлекается только из неотрицательных чисел.
Область определения функции: $D(y) = [0, +\infty)$.
Область значений функции: $E(y) = [0, +\infty)$.
Графиком функции является верхняя ветвь параболы $x = y^2$. Он начинается в точке (0, 0) и плавно поднимается, проходя через точки (1, 1), (4, 2) и т.д.

Ответ: График функции $y = \sqrt{x}$ — ветвь параболы, выходящая из начала координат и расположенная в первой координатной четверти. См. график выше.

2) $y = \sqrt{x^2}$

Выражение под корнем, $x^2$, является неотрицательным для любого действительного числа $x$. Следовательно, функция определена на всей числовой оси.
Область определения функции: $D(y) = (-\infty, +\infty)$.
По определению, $\sqrt{a^2} = |a|$, поэтому функцию можно упростить до $y = |x|$.
График этой функции, известной как "модуль $x$", состоит из двух лучей, исходящих из начала координат:

• $y = x$ при $x \ge 0$ (биссектриса I координатной четверти).
• $y = -x$ при $x < 0$ (биссектриса II координатной четверти).

Ответ: График функции $y = \sqrt{x^2}$, тождественно равной $y=|x|$, представляет собой "галочку" с вершиной в начале координат. См. график выше.

3) $y = (\sqrt{x})^2$

В данной функции сначала необходимо вычислить $\sqrt{x}$, что возможно только при $x \ge 0$. Таким образом, несмотря на последующее возведение в квадрат, область определения ограничена.
Область определения функции: $D(y) = [0, +\infty)$.
Для всех $x$ из области определения $(\sqrt{x})^2 = x$. Следовательно, функция тождественно равна $y = x$ при $x \ge 0$.
Графиком функции является луч, исходящий из начала координат, который является биссектрисой первого координатного угла.

Ответ: График функции $y = (\sqrt{x})^2$ — это луч, выходящий из начала координат под углом 45 градусов к оси абсцисс (часть прямой $y=x$ при $x \ge 0$). См. график выше.