Номер 6.13, страница 197 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.13. Сравните числа:

1) $\sqrt{0,63}$ и $\sqrt{0,83}$;

2) $\sqrt[3]{0,63}$ и $\sqrt[3]{0,63}$;

3) $\sqrt{1,63}$ и $\sqrt[3]{1,63}$;

4) $\sqrt{2}$ и $\sqrt[3]{3}$.

1) Для сравнения чисел $\sqrt{0,63}$ и $\sqrt{0,83}$ воспользуемся свойством монотонного возрастания функции $y=\sqrt{x}$ на области определения $x \ge 0$. Это свойство означает, что для неотрицательных чисел большему подкоренному выражению соответствует большее значение корня. Сравним подкоренные выражения: $0,63$ и $0,83$. Поскольку $0,63 < 0,83$, то и $\sqrt{0,63} < \sqrt{0,83}$.
Ответ: $\sqrt{0,63} < \sqrt{0,83}$.

2) Требуется сравнить числа $\sqrt[3]{0,63}$ и $\sqrt[3]{0,63}$. Данные выражения являются абсолютно одинаковыми. Любое число равно самому себе, следовательно, $\sqrt[3]{0,63} = \sqrt[3]{0,63}$.
Ответ: $\sqrt[3]{0,63} = \sqrt[3]{0,63}$.

3) Чтобы сравнить числа $\sqrt{1,63}$ и $\sqrt[3]{1,63}$, которые имеют разные показатели корня, можно возвести их в степень, равную наименьшему общему кратному показателей корней. Наименьшее общее кратное для 2 и 3 равно 6. Так как оба числа положительны, при возведении в положительную степень знак неравенства между ними сохранится.
Возведем первое число в 6-ю степень: $(\sqrt{1,63})^6 = ((1,63)^{1/2})^6 = (1,63)^{6/2} = (1,63)^3$.
Возведем второе число в 6-ю степень: $(\sqrt[3]{1,63})^6 = ((1,63)^{1/3})^6 = (1,63)^{6/3} = (1,63)^2$.
Теперь сравним результаты: $(1,63)^3$ и $(1,63)^2$. Для степеней с основанием больше 1 ($1,63 > 1$) большим является то число, у которого показатель степени больше. Так как $3 > 2$, то $(1,63)^3 > (1,63)^2$.
Следовательно, $\sqrt{1,63} > \sqrt[3]{1,63}$.
Ответ: $\sqrt{1,63} > \sqrt[3]{1,63}$.

4) Для сравнения чисел $\sqrt{2}$ и $\sqrt[3]{3}$ с разными показателями корней и разными подкоренными выражениями, приведем их к общему показателю корня. Наименьшее общее кратное для показателей 2 и 3 равно 6.
Приведем $\sqrt{2}$ к корню 6-й степени: $\sqrt{2} = 2^{1/2} = 2^{3/6} = \sqrt[6]{2^3} = \sqrt[6]{8}$.
Приведем $\sqrt[3]{3}$ к корню 6-й степени: $\sqrt[3]{3} = 3^{1/3} = 3^{2/6} = \sqrt[6]{3^2} = \sqrt[6]{9}$.
Теперь сравним полученные выражения: $\sqrt[6]{8}$ и $\sqrt[6]{9}$. Так как функция $y=\sqrt[6]{x}$ является возрастающей, а подкоренное выражение $8 < 9$, то $\sqrt[6]{8} < \sqrt[6]{9}$.
Таким образом, $\sqrt{2} < \sqrt[3]{3}$.
Ответ: $\sqrt{2} < \sqrt[3]{3}$.