Номер 6.17, страница 198 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.17. Разложите выражения на множители:

1) $9(x+5)^2-(x-7)^2$;

2) $49(y-4)^2-9(y+2)^2$;

3) $x^3+y^3+2xy(x+y)$;

4) $5a^2-5-4(a-1)^2$;

5) $2(x+y)^2+x^2-y^2$;

6) $a^4+ab^3-a^3b-b^4$;

7) $(x-y+4)^2-x^2+2xy-y^2$;

8) $(a-b)^3+(a+b)^3$;

9) $(x+2y)^3+(2x-y)^3$.

1) $9(x+5)²-(x-7)²$

Данное выражение является разностью квадратов. Применим формулу $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$, где $a=3(x+5)$ и $b=x-7$.

$9(x+5)²-(x-7)² = (3(x+5))²-(x-7)² = (3(x+5)-(x-7))(3(x+5)+(x-7))$.

Упростим выражения в каждой из скобок:

$(3x+15-x+7)(3x+15+x-7) = (2x+22)(4x+8)$.

Вынесем общие множители из каждой скобки:

$2(x+11) \cdot 4(x+2) = 8(x+11)(x+2)$.

Ответ: $8(x+11)(x+2)$.

2) $49(y-4)²-9(y+2)²$

Это также разность квадратов. Применим формулу $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$, где $a=7(y-4)$ и $b=3(y+2)$.

$49(y-4)²-9(y+2)² = (7(y-4))²-(3(y+2))² = (7(y-4)-3(y+2))(7(y-4)+3(y+2))$.

Раскроем скобки и упростим:

$(7y-28-3y-6)(7y-28+3y+6) = (4y-34)(10y-22)$.

Вынесем общие множители:

$2(2y-17) \cdot 2(5y-11) = 4(2y-17)(5y-11)$.

Ответ: $4(2y-17)(5y-11)$.

3) $x³+y³+2xy(x+y)$

Используем формулу суммы кубов $x³+y³=(x+y)(x²-xy+y²)$.

$(x+y)(x²-xy+y²) + 2xy(x+y)$.

Вынесем общий множитель $(x+y)$ за скобки:

$(x+y)((x²-xy+y²) + 2xy) = (x+y)(x²+xy+y²)$.

Ответ: $(x+y)(x²+xy+y²)$.

4) $5a²-5-4(a-1)²$

Вынесем 5 за скобки в первом слагаемом: $5(a²-1)-4(a-1)²$.

Применим формулу разности квадратов $a²-1=(a-1)(a+1)$:

$5(a-1)(a+1)-4(a-1)²$.

Вынесем общий множитель $(a-1)$ за скобки:

$(a-1)(5(a+1)-4(a-1)) = (a-1)(5a+5-4a+4) = (a-1)(a+9)$.

Ответ: $(a-1)(a+9)$.

5) $2(x+y)²+x²-y²$

Применим формулу разности квадратов $x²-y²=(x-y)(x+y)$:

$2(x+y)²+(x-y)(x+y)$.

Вынесем общий множитель $(x+y)$ за скобки:

$(x+y)(2(x+y)+(x-y)) = (x+y)(2x+2y+x-y) = (x+y)(3x+y)$.

Ответ: $(x+y)(3x+y)$.

6) $a⁴+ab³-a³b-b⁴$

Сгруппируем слагаемые: $(a⁴-a³b) + (ab³-b⁴)$.

Вынесем общие множители из каждой группы:

$a³(a-b) + b³(a-b)$.

Теперь вынесем общий множитель $(a-b)$:

$(a-b)(a³+b³)$.

Разложим сумму кубов $a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)$:

$(a-b)(a+b)(a²-ab+b²)$.

Ответ: $(a-b)(a+b)(a²-ab+b²)$.

7) $(x-y+4)²-x²+2xy-y²$

Преобразуем последние три члена: $-x²+2xy-y² = -(x²-2xy+y²) = -(x-y)²$.

Получаем выражение: $(x-y+4)²-(x-y)²$.

Это разность квадратов, где $a=x-y+4$ и $b=x-y$.

$((x-y+4)-(x-y))((x-y+4)+(x-y))$.

Упростим выражения в скобках:

$(x-y+4-x+y)(x-y+4+x-y) = (4)(2x-2y+4)$.

Вынесем 2 из второй скобки: $4 \cdot 2(x-y+2) = 8(x-y+2)$.

Ответ: $8(x-y+2)$.

8) $(a-b)³+(a+b)³$

Используем формулу суммы кубов $X³+Y³=(X+Y)(X²-XY+Y²)$, где $X=a-b$ и $Y=a+b$.

$X+Y = (a-b)+(a+b) = 2a$.

$X²-XY+Y² = (a-b)²-(a-b)(a+b)+(a+b)² = (a²-2ab+b²)-(a²-b²)+(a²+2ab+b²) = a²-2ab+b²-a²+b²+a²+2ab+b² = a²+3b²$.

Таким образом, $(a-b)³+(a+b)³ = (2a)(a²+3b²)$.

Другой способ - раскрыть кубы:

$(a³-3a²b+3ab²-b³) + (a³+3a²b+3ab²+b³) = 2a³+6ab² = 2a(a²+3b²)$.

Ответ: $2a(a²+3b²)$.

9) $(x+2y)³+(2x-y)³$

Применим формулу суммы кубов $A³+B³=(A+B)(A²-AB+B²)$, где $A=x+2y$ и $B=2x-y$.

$A+B = (x+2y)+(2x-y) = 3x+y$.

$A²=(x+2y)² = x²+4xy+4y²$.

$B²=(2x-y)² = 4x²-4xy+y²$.

$AB=(x+2y)(2x-y) = 2x²-xy+4xy-2y² = 2x²+3xy-2y²$.

$A²-AB+B² = (x²+4xy+4y²)-(2x²+3xy-2y²)+(4x²-4xy+y²) = x²+4xy+4y²-2x²-3xy+2y²+4x²-4xy+y² = 3x²-3xy+7y²$.

Результат: $(3x+y)(3x²-3xy+7y²)$.

Ответ: $(3x+y)(3x²-3xy+7y²)$.