Номер 6.10, страница 196 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.10. Найдите $a$ и $b$, если:

1) $a : b = 4 : 7$ и $(a, b) = 8;$

2) $[a, b] = 124$ и $(a, b) = 31;$

3) $ab = 375$ и $[a, b] = 75.$

1) Дано, что $a : b = 4 : 7$ и наибольший общий делитель $(a, b) = 8$.
Из соотношения $a : b = 4 : 7$ следует, что числа $a$ и $b$ можно представить в виде $a = 4k$ и $b = 7k$, где $k$ – некоторый общий множитель.
Поскольку числа 4 и 7 взаимно просты (их наибольший общий делитель равен 1), то наибольший общий делитель чисел $a$ и $b$ будет равен этому множителю $k$.
$(a, b) = (4k, 7k) = k \cdot (4, 7) = k \cdot 1 = k$.
По условию $(a, b) = 8$, следовательно, $k = 8$.
Теперь найдем $a$ и $b$:
$a = 4k = 4 \cdot 8 = 32$
$b = 7k = 7 \cdot 8 = 56$
Проверка: $32:56 = (4 \cdot 8) : (7 \cdot 8) = 4:7$. $(32, 56)=8$.
Ответ: $a = 32, b = 56$.

2) Дано, что наименьшее общее кратное $[a, b] = 124$ и наибольший общий делитель $(a, b) = 31$.
Пусть $d = (a, b) = 31$. Тогда числа $a$ и $b$ можно представить в виде $a = d \cdot a' = 31a'$ и $b = d \cdot b' = 31b'$, где $a'$ и $b'$ – взаимно простые числа, то есть $(a', b')=1$.
Воспользуемся свойством, связывающим НОД и НОК: $[a, b] = d \cdot a' \cdot b'$.
Подставим известные значения: $124 = 31 \cdot a' \cdot b'$.
Отсюда найдем произведение $a'b'$: $a'b' = \frac{124}{31} = 4$.
Теперь нужно найти пары взаимно простых натуральных чисел $a'$ и $b'$, произведение которых равно 4. Единственная такая пара (с точностью до перестановки) — это 1 и 4, так как $(1, 4) = 1$. Пара (2, 2) не подходит, так как $(2, 2) = 2 \ne 1$.
Пусть $a' = 1$ и $b' = 4$. Тогда:
$a = 31 \cdot 1 = 31$
$b = 31 \cdot 4 = 124$
Если $a' = 4$ и $b' = 1$, то $a = 124$ и $b = 31$. В обоих случаях мы получаем одну и ту же пару чисел.
Ответ: числа $a$ и $b$ равны 31 и 124.

3) Дано, что произведение $ab = 375$ и наименьшее общее кратное $[a, b] = 75$.
Воспользуемся основной формулой, связывающей произведение чисел, их НОД и НОК: $ab = (a, b) \cdot [a, b]$.
Подставим известные значения: $375 = (a, b) \cdot 75$.
Найдем наибольший общий делитель $(a, b)$: $(a, b) = \frac{375}{75} = 5$.
Теперь задача сводится к нахождению чисел $a$ и $b$, зная их НОД и НОК: $(a, b) = 5$ и $[a, b] = 75$.
Пусть $d = (a, b) = 5$. Представим числа в виде $a = 5a'$ и $b = 5b'$, где $(a', b') = 1$.
Из формулы для НОК $[a, b] = d \cdot a' \cdot b'$ имеем: $75 = 5 \cdot a' \cdot b'$.
Отсюда $a'b' = \frac{75}{5} = 15$.
Найдем все пары взаимно простых чисел, произведение которых равно 15. Таких пар две:
1) $a'=1, b'=15$. Они взаимно просты, $(1, 15) = 1$.
2) $a'=3, b'=5$. Они взаимно просты, $(3, 5) = 1$.
Это дает нам два возможных набора чисел $a$ и $b$.
Случай 1: $a'=1, b'=15$.
$a = 5 \cdot 1 = 5$
$b = 5 \cdot 15 = 75$
(или наоборот, $a = 75, b = 5$).
Случай 2: $a'=3, b'=5$.
$a = 5 \cdot 3 = 15$
$b = 5 \cdot 5 = 25$
(или наоборот, $a = 25, b = 15$).
Ответ: $a=5, b=75$ (или $a=75, b=5$), а также $a=15, b=25$ (или $a=25, b=15$).