Номер 6.7, страница 196 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.7. Докажите, что разность квадрата нечетного числа и единицы делится на 8.

6.7. Пусть $n$ - произвольное нечетное число. Необходимо доказать, что разность квадрата этого числа и единицы, то есть выражение $n^2 - 1$, делится на 8.

Разложим выражение $n^2 - 1$ на множители, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:

$n^2 - 1 = (n - 1)(n + 1)$

Поскольку $n$ является нечетным числом, то числа $(n - 1)$ и $(n + 1)$ являются двумя последовательными четными числами. Например, если $n=3$, то множители равны $2$ и $4$. Если $n=9$, то множители равны $8$ и $10$.

Докажем, что произведение двух последовательных четных чисел всегда делится на 8.

Пусть одно из последовательных четных чисел равно $2k$ для некоторого целого числа $k$. Тогда другое число будет равно $2k + 2$.

Найдем их произведение:

$(2k)(2k + 2) = 2k \cdot 2(k + 1) = 4k(k + 1)$

Теперь рассмотрим произведение $k(k + 1)$. Это произведение двух последовательных целых чисел. Одно из этих чисел ($k$ или $k+1$) обязательно является четным, а другое - нечетным. Произведение четного и нечетного числа всегда является четным. Следовательно, произведение $k(k + 1)$ всегда делится на 2.

Это означает, что мы можем записать $k(k + 1) = 2m$, где $m$ - некоторое целое число.

Подставим это обратно в выражение для произведения двух последовательных четных чисел:

$4k(k + 1) = 4 \cdot (2m) = 8m$

Выражение $8m$ очевидно делится на 8 для любого целого $m$.

Таким образом, мы доказали, что произведение $(n - 1)(n + 1)$, а следовательно, и выражение $n^2 - 1$, всегда делится на 8.

Ответ: Что и требовалось доказать.