Номер 5.121, страница 193 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.121.

1) В древности один хан с целью хоть как-то облегчить участь неверного слуги, которого должны были наказать, велел дать ему 2 белых и 2 красных альчика. По условию хана слуга должен был распределить эти альчики по двум мешочкам, а затем палач случайно отбирает один из этих мешочков и из выбранного мешочка извлекает один альчик. Если вынутый альчик окажется белого цвета, то слуга будет помилован, а если этот альчик окажется красного цвета, то он будет наказан. Как слуге нужно распределить эти альчики по двум мешочкам так, чтобы он был помилован с наибольшей вероятностью?

ты теории вероятностей

2) В квадрат случайно брошены 4 точки. Какова вероятность того, что ровно 2 из этих точек попадут в круг, вписанный в данный квадрат?

1)

Для того чтобы максимизировать вероятность быть помилованным, слуга должен максимизировать вероятность вытащить белый альчик. Обозначим белый альчик как Б, а красный — как К. Всего у слуги 2 белых и 2 красных альчика, которые нужно распределить по двум мешочкам.

Вероятность быть помилованным вычисляется по формуле полной вероятности:$P(\text{помилован}) = P(\text{выбрать мешок 1}) \times P(\text{вытащить Б | мешок 1}) + P(\text{выбрать мешок 2}) \times P(\text{вытащить Б | мешок 2})$

Поскольку палач выбирает мешочек случайно, вероятность выбора каждого мешочка равна $1/2$.$P(\text{помилован}) = \frac{1}{2} \times P(\text{Б | мешок 1}) + \frac{1}{2} \times P(\text{Б | мешок 2})$

Рассмотрим возможные варианты распределения альчиков по двум мешочкам. В каждом мешочке должен быть хотя бы один альчик.

Вариант 1: В одном мешочке 1 альчик, в другом 3.
а) В первом мешочке 1Б. Тогда во втором мешочке будут 1Б и 2К.
Вероятность вытащить белый из первого мешочка: $P_1 = \frac{1}{1} = 1$.
Вероятность вытащить белый из второго мешочка: $P_2 = \frac{1}{1+2} = \frac{1}{3}$.
Общая вероятность помилования: $P = \frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{2} + \frac{1}{6} = \frac{3+1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.
б) В первом мешочке 1К. Тогда во втором мешочке будут 2Б и 1К.
Вероятность вытащить белый из первого мешочка: $P_1 = \frac{0}{1} = 0$.
Вероятность вытащить белый из второго мешочка: $P_2 = \frac{2}{2+1} = \frac{2}{3}$.
Общая вероятность помилования: $P = \frac{1}{2} \cdot 0 + \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$.

Вариант 2: В обоих мешочках по 2 альчика.
а) В первом мешочке 2Б, во втором 2К.
Вероятность вытащить белый из первого мешочка: $P_1 = \frac{2}{2} = 1$.
Вероятность вытащить белый из второго мешочка: $P_2 = \frac{0}{2} = 0$.
Общая вероятность помилования: $P = \frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot 0 = \frac{1}{2}$.
б) В первом мешочке 1Б и 1К, во втором мешочке 1Б и 1К.
Вероятность вытащить белый из первого мешочка: $P_1 = \frac{1}{2}$.
Вероятность вытащить белый из второго мешочка: $P_2 = \frac{1}{2}$.
Общая вероятность помилования: $P = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$.

Сравним полученные вероятности: $2/3 \approx 0.667$, $1/3 \approx 0.333$, $1/2 = 0.5$.Наибольшая вероятность равна $2/3$. Она достигается, когда в один мешочек кладут один белый альчик, а в другой — оставшиеся три альчика (один белый и два красных).

Ответ: Слуге нужно положить один белый альчик в один мешочек, а во второй мешочек положить оставшиеся альчики: один белый и два красных. Вероятность быть помилованным в этом случае составит $2/3$.

2)

Эта задача решается с помощью геометрической вероятности и формулы Бернулли.

Шаг 1: Нахождение вероятности для одной точки.

Сначала определим вероятность $p$ того, что одна случайно брошенная в квадрат точка попадет в круг, вписанный в этот квадрат.

Пусть сторона квадрата равна $a$. Тогда его площадь $S_{кв} = a^2$.
Диаметр вписанного круга равен стороне квадрата, то есть $d = a$. Радиус круга $r = a/2$.
Площадь круга: $S_{кр} = \pi r^2 = \pi (a/2)^2 = \frac{\pi a^2}{4}$.
Вероятность попадания одной точки в круг равна отношению площади круга к площади квадрата:$p = \frac{S_{кр}}{S_{кв}} = \frac{\pi a^2 / 4}{a^2} = \frac{\pi}{4}$.
Вероятность того, что точка не попадет в круг (но останется в квадрате), равна $q = 1 - p = 1 - \frac{\pi}{4}$.

Шаг 2: Применение формулы Бернулли.

У нас есть $n=4$ независимых испытания (броска точек). Нам нужно найти вероятность того, что ровно $k=2$ из них будут "успешными" (попадут в круг).

Формула Бернулли для $k$ успехов в $n$ испытаниях: $P_n(k) = C_n^k p^k q^{n-k}$.
В нашем случае $n=4$, $k=2$.
$P_4(2) = C_4^2 p^2 q^{4-2} = C_4^2 p^2 q^2$.

Вычисляем биномиальный коэффициент (число сочетаний):$C_4^2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4 \cdot 3}{2 \cdot 1} = 6$.

Теперь подставляем все значения в формулу:$P_4(2) = 6 \cdot \left(\frac{\pi}{4}\right)^2 \cdot \left(1 - \frac{\pi}{4}\right)^2$
$P_4(2) = 6 \cdot \frac{\pi^2}{16} \cdot \left(\frac{4-\pi}{4}\right)^2 = 6 \cdot \frac{\pi^2}{16} \cdot \frac{(4-\pi)^2}{16}$
$P_4(2) = \frac{6 \pi^2 (4-\pi)^2}{256}$

Сократим дробь на 2:$P_4(2) = \frac{3 \pi^2 (4-\pi)^2}{128}$

Ответ: Вероятность того, что ровно 2 из 4 точек попадут в круг, вписанный в данный квадрат, равна $\frac{3 \pi^2 (4-\pi)^2}{128}$.