Номер 6.6, страница 196 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.6. Докажите, что разность куба целого числа и самого числа делится на 24.

Утверждение, представленное в задаче, неверно в общем виде для всех целых чисел. Чтобы опровергнуть его, достаточно привести контрпример. Для целого числа $n=2$ разность куба этого числа и самого числа составляет:$n^3 - n = 2^3 - 2 = 8 - 2 = 6$.Число 6 не делится нацело на 24. Таким образом, исходное утверждение неверно.

Однако можно доказать, что данное утверждение справедливо для всех нечетных целых чисел.

Пусть $n$ — произвольное нечетное целое число. Рассмотрим выражение $n^3 - n$. Разложим его на множители:$n^3 - n = n(n^2 - 1) = (n-1)n(n+1)$.Это произведение трех последовательных целых чисел.

Чтобы доказать, что выражение делится на 24, необходимо доказать, что оно делится на 3 и на 8, поскольку $24 = 3 \cdot 8$ и числа 3 и 8 являются взаимно простыми.

Сначала докажем делимость на 3. Выражение $(n-1)n(n+1)$ является произведением трех последовательных целых чисел. Среди любых трех последовательных целых чисел одно всегда делится на 3, поэтому их произведение всегда делится на 3 для любого целого $n$.

Теперь докажем делимость на 8. Поскольку по условию $n$ — нечетное число, то $n-1$ и $n+1$ — это два последовательных четных числа. Среди двух последовательных четных чисел одно обязательно делится на 4 (например, пары 2 и 4; 4 и 6; 6 и 8). Таким образом, их произведение $(n-1)(n+1)$ всегда содержит один множитель, кратный 2, и один множитель, кратный 4, а значит, само произведение делится на $2 \cdot 4 = 8$. Следовательно, и все выражение $(n-1)n(n+1)$ делится на 8.

Поскольку для любого нечетного целого числа $n$ выражение $n^3-n$ делится и на 3, и на 8, то оно делится и на их произведение, равное 24.

Ответ: Утверждение в задаче сформулировано неверно. Например, для $n=2$ получаем $2^3-2=6$, что не делится на 24. Утверждение верно только для всех нечетных целых чисел.