Номер 5.120, страница 193 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.120. На «бесконечную» шахматную доску, сторона каждого квадрата которой равна $2a$, брошена монета радиусом $r (r < a)$. Какова вероятность того, что монета целиком окажется в одном квадрате?

Для решения этой задачи используется геометрическое определение вероятности. Вероятность события A равна отношению меры области, благоприятствующей событию A, к мере всей области возможных исходов. В данном случае мерой является площадь.

Рассмотрим один квадрат «бесконечной» шахматной доски. Сторона этого квадрата равна $2a$. Поскольку доска бесконечна, положение центра монеты можно с равной вероятностью считать находящимся в любом месте. Благодаря периодичности решетки, достаточно рассмотреть падение центра монеты в один произвольный квадрат.

Площадь одного квадрата, которая представляет собой область всех возможных положений центра монеты, равна:

$S_{общ} = (2a)^2 = 4a^2$

Теперь определим область благоприятных исходов. Благоприятный исход — это когда монета целиком оказывается внутри одного квадрата. Монета представляет собой круг радиусом $r$. Чтобы круг целиком находился внутри квадрата со стороной $2a$, его центр должен быть удален от каждой из сторон квадрата на расстояние не менее своего радиуса $r$.

Таким образом, центр монеты должен находиться внутри меньшего квадрата, стороны которого параллельны сторонам исходного квадрата и отстоят от них на расстояние $r$.

Сторона этого внутреннего, «благоприятного» квадрата будет равна стороне исходного квадрата минус два радиуса (по одному с каждой стороны):

$2a - r - r = 2a - 2r = 2(a-r)$

Площадь этой благоприятной области равна:

$S_{бл} = (2a - 2r)^2 = (2(a-r))^2 = 4(a-r)^2$

Вероятность $P$ того, что монета целиком окажется в одном квадрате, равна отношению благоприятной площади к общей площади:

$P = \frac{S_{бл}}{S_{общ}} = \frac{4(a-r)^2}{4a^2} = \frac{(a-r)^2}{a^2}$

Это выражение можно также записать в виде:

$P = \left(\frac{a-r}{a}\right)^2 = \left(1 - \frac{r}{a}\right)^2$

Условие $r < a$ гарантирует, что вероятность является положительным числом меньше 1.

Ответ: $P = \frac{(a-r)^2}{a^2}$ или $P = \left(1 - \frac{r}{a}\right)^2$.