Номер 5.118, страница 193 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.118. Пусть $B$ и $C$ – несовместные события и $P(A) \ne 0$. Докажите равенство

$P_A(B+C) = P_A(B) + P_A(C)$.

Для доказательства данного равенства воспользуемся определением условной вероятности. Условная вероятность события $X$ при условии, что произошло событие $A$ (где $P(A) \neq 0$), определяется формулой:

$P_A(X) = P(X|A) = \frac{P(X \cdot A)}{P(A)}$

Здесь $X \cdot A$ обозначает пересечение событий $X$ и $A$ (их совместное наступление), а $B+C$ обозначает объединение событий $B$ и $C$.

Рассмотрим левую часть равенства, которое необходимо доказать:

$P_A(B+C)$

Применяя определение условной вероятности, получаем:

$P_A(B+C) = \frac{P((B+C) \cdot A)}{P(A)}$

Используя дистрибутивный закон для операций над событиями (пересечение дистрибутивно относительно объединения), преобразуем выражение в числителе:

$(B+C) \cdot A = (B \cdot A) + (C \cdot A)$

Подставим это обратно в нашу формулу:

$P_A(B+C) = \frac{P((B \cdot A) + (C \cdot A))}{P(A)}$

По условию задачи, события $B$ и $C$ являются несовместными. Это означает, что их пересечение является невозможным событием: $B \cdot C = \emptyset$.

Теперь проверим, являются ли события $(B \cdot A)$ и $(C \cdot A)$ несовместными. Найдем их пересечение:

$(B \cdot A) \cdot (C \cdot A) = B \cdot C \cdot A \cdot A = (B \cdot C) \cdot A$

Так как $B \cdot C = \emptyset$, то и $(B \cdot C) \cdot A = \emptyset$. Следовательно, события $(B \cdot A)$ и $(C \cdot A)$ также являются несовместными.

Согласно аксиоме аддитивности, вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме их вероятностей. Применим это к числителю:

$P((B \cdot A) + (C \cdot A)) = P(B \cdot A) + P(C \cdot A)$

Подставим полученное выражение в формулу для $P_A(B+C)$:

$P_A(B+C) = \frac{P(B \cdot A) + P(C \cdot A)}{P(A)}$

Разделим дробь на два слагаемых:

$P_A(B+C) = \frac{P(B \cdot A)}{P(A)} + \frac{P(C \cdot A)}{P(A)}$

Заметим, что каждое из слагаемых в правой части является определением условной вероятности:

$\frac{P(B \cdot A)}{P(A)} = P_A(B)$

$\frac{P(C \cdot A)}{P(A)} = P_A(C)$

Таким образом, мы приходим к искомому равенству:

$P_A(B+C) = P_A(B) + P_A(C)$

Равенство доказано.

Ответ: Утверждение доказано путем последовательного применения определения условной вероятности, дистрибутивного закона для операций над событиями и аксиомы аддитивности для несовместных событий.