Страница 198 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.17. Разложите выражения на множители:

1) $9(x+5)^2-(x-7)^2$;

2) $49(y-4)^2-9(y+2)^2$;

3) $x^3+y^3+2xy(x+y)$;

4) $5a^2-5-4(a-1)^2$;

5) $2(x+y)^2+x^2-y^2$;

6) $a^4+ab^3-a^3b-b^4$;

7) $(x-y+4)^2-x^2+2xy-y^2$;

8) $(a-b)^3+(a+b)^3$;

9) $(x+2y)^3+(2x-y)^3$.

1) $9(x+5)²-(x-7)²$

Данное выражение является разностью квадратов. Применим формулу $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$, где $a=3(x+5)$ и $b=x-7$.

$9(x+5)²-(x-7)² = (3(x+5))²-(x-7)² = (3(x+5)-(x-7))(3(x+5)+(x-7))$.

Упростим выражения в каждой из скобок:

$(3x+15-x+7)(3x+15+x-7) = (2x+22)(4x+8)$.

Вынесем общие множители из каждой скобки:

$2(x+11) \cdot 4(x+2) = 8(x+11)(x+2)$.

Ответ: $8(x+11)(x+2)$.

2) $49(y-4)²-9(y+2)²$

Это также разность квадратов. Применим формулу $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$, где $a=7(y-4)$ и $b=3(y+2)$.

$49(y-4)²-9(y+2)² = (7(y-4))²-(3(y+2))² = (7(y-4)-3(y+2))(7(y-4)+3(y+2))$.

Раскроем скобки и упростим:

$(7y-28-3y-6)(7y-28+3y+6) = (4y-34)(10y-22)$.

Вынесем общие множители:

$2(2y-17) \cdot 2(5y-11) = 4(2y-17)(5y-11)$.

Ответ: $4(2y-17)(5y-11)$.

3) $x³+y³+2xy(x+y)$

Используем формулу суммы кубов $x³+y³=(x+y)(x²-xy+y²)$.

$(x+y)(x²-xy+y²) + 2xy(x+y)$.

Вынесем общий множитель $(x+y)$ за скобки:

$(x+y)((x²-xy+y²) + 2xy) = (x+y)(x²+xy+y²)$.

Ответ: $(x+y)(x²+xy+y²)$.

4) $5a²-5-4(a-1)²$

Вынесем 5 за скобки в первом слагаемом: $5(a²-1)-4(a-1)²$.

Применим формулу разности квадратов $a²-1=(a-1)(a+1)$:

$5(a-1)(a+1)-4(a-1)²$.

Вынесем общий множитель $(a-1)$ за скобки:

$(a-1)(5(a+1)-4(a-1)) = (a-1)(5a+5-4a+4) = (a-1)(a+9)$.

Ответ: $(a-1)(a+9)$.

5) $2(x+y)²+x²-y²$

Применим формулу разности квадратов $x²-y²=(x-y)(x+y)$:

$2(x+y)²+(x-y)(x+y)$.

Вынесем общий множитель $(x+y)$ за скобки:

$(x+y)(2(x+y)+(x-y)) = (x+y)(2x+2y+x-y) = (x+y)(3x+y)$.

Ответ: $(x+y)(3x+y)$.

6) $a⁴+ab³-a³b-b⁴$

Сгруппируем слагаемые: $(a⁴-a³b) + (ab³-b⁴)$.

Вынесем общие множители из каждой группы:

$a³(a-b) + b³(a-b)$.

Теперь вынесем общий множитель $(a-b)$:

$(a-b)(a³+b³)$.

Разложим сумму кубов $a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)$:

$(a-b)(a+b)(a²-ab+b²)$.

Ответ: $(a-b)(a+b)(a²-ab+b²)$.

7) $(x-y+4)²-x²+2xy-y²$

Преобразуем последние три члена: $-x²+2xy-y² = -(x²-2xy+y²) = -(x-y)²$.

Получаем выражение: $(x-y+4)²-(x-y)²$.

Это разность квадратов, где $a=x-y+4$ и $b=x-y$.

$((x-y+4)-(x-y))((x-y+4)+(x-y))$.

Упростим выражения в скобках:

$(x-y+4-x+y)(x-y+4+x-y) = (4)(2x-2y+4)$.

Вынесем 2 из второй скобки: $4 \cdot 2(x-y+2) = 8(x-y+2)$.

Ответ: $8(x-y+2)$.

8) $(a-b)³+(a+b)³$

Используем формулу суммы кубов $X³+Y³=(X+Y)(X²-XY+Y²)$, где $X=a-b$ и $Y=a+b$.

$X+Y = (a-b)+(a+b) = 2a$.

$X²-XY+Y² = (a-b)²-(a-b)(a+b)+(a+b)² = (a²-2ab+b²)-(a²-b²)+(a²+2ab+b²) = a²-2ab+b²-a²+b²+a²+2ab+b² = a²+3b²$.

Таким образом, $(a-b)³+(a+b)³ = (2a)(a²+3b²)$.

Другой способ - раскрыть кубы:

$(a³-3a²b+3ab²-b³) + (a³+3a²b+3ab²+b³) = 2a³+6ab² = 2a(a²+3b²)$.

Ответ: $2a(a²+3b²)$.

9) $(x+2y)³+(2x-y)³$

Применим формулу суммы кубов $A³+B³=(A+B)(A²-AB+B²)$, где $A=x+2y$ и $B=2x-y$.

$A+B = (x+2y)+(2x-y) = 3x+y$.

$A²=(x+2y)² = x²+4xy+4y²$.

$B²=(2x-y)² = 4x²-4xy+y²$.

$AB=(x+2y)(2x-y) = 2x²-xy+4xy-2y² = 2x²+3xy-2y²$.

$A²-AB+B² = (x²+4xy+4y²)-(2x²+3xy-2y²)+(4x²-4xy+y²) = x²+4xy+4y²-2x²-3xy+2y²+4x²-4xy+y² = 3x²-3xy+7y²$.

Результат: $(3x+y)(3x²-3xy+7y²)$.

Ответ: $(3x+y)(3x²-3xy+7y²)$.

6.18. Разложите выражения на множители:

1) $5xy^3+30x^2z^2-6x^3yz-25y^2z$

2) $15m^3n^2p-35p^2nq^3+25mn^3q^2-21m^2p^3q$

3) $32c^5-3^5$

4) $(4a)^5+(2b)^5$

5) $(2x)^6+(3y)^6$

1) Для разложения на множители выражения $5xy^3+30x^2z^2-6x^3yz-25y^2z$ используем метод группировки. Сгруппируем первое слагаемое с четвертым, а второе с третьим:
$(5xy^3 - 25y^2z) + (30x^2z^2 - 6x^3yz)$
Вынесем общие множители из каждой скобки. Из первой скобки вынесем $5y^2$, а из второй $6x^2z$:
$5y^2(xy - 5z) + 6x^2z(5z - xy)$
Заметим, что выражения в скобках отличаются только знаком. Вынесем $-1$ из второй скобки:
$5y^2(xy - 5z) - 6x^2z(xy - 5z)$
Теперь можно вынести общий множитель $(xy - 5z)$ за скобки:
$(xy - 5z)(5y^2 - 6x^2z)$
Ответ: $(xy - 5z)(5y^2 - 6x^2z)$

2) Разложим на множители выражение $15m^3n^2p-35p^2nq^3+25mn^3q^2-21m^2p^3q$. Перегруппируем слагаемые для удобства: сгруппируем первое с третьим, а второе с четвертым.
$(15m^3n^2p + 25mn^3q^2) + (-35p^2nq^3 - 21m^2p^3q)$
Вынесем общие множители из каждой группы. Из первой группы вынесем $5mn^2$, из второй $-7p^2q$:
$5mn^2(3m^2p + 5nq^2) - 7p^2q(5nq^2 + 3m^2p)$
Теперь вынесем общий множитель $(3m^2p + 5nq^2)$:
$(3m^2p + 5nq^2)(5mn^2 - 7p^2q)$
Ответ: $(3m^2p + 5nq^2)(5mn^2 - 7p^2q)$

3) Рассмотрим выражение $32c^5-3^5$. Представим $32$ как $2^5$:
$2^5c^5 - 3^5 = (2c)^5 - 3^5$
Это разность пятых степеней. Используем формулу разности степеней $a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+...+ab^{n-2}+b^{n-1})$. Для $n=5$ формула выглядит так:
$a^5 - b^5 = (a-b)(a^4+a^3b+a^2b^2+ab^3+b^4)$
В нашем случае $a=2c$ и $b=3$. Подставим эти значения в формулу:
$(2c - 3)((2c)^4 + (2c)^3 \cdot 3 + (2c)^2 \cdot 3^2 + (2c) \cdot 3^3 + 3^4)$
Упростим выражение во второй скобке:
$(2c - 3)(16c^4 + 8c^3 \cdot 3 + 4c^2 \cdot 9 + 2c \cdot 27 + 81)$
$(2c - 3)(16c^4 + 24c^3 + 36c^2 + 54c + 81)$
Ответ: $(2c - 3)(16c^4 + 24c^3 + 36c^2 + 54c + 81)$

4) Рассмотрим выражение $(4a)^5+(2b)^5$. Это сумма пятых степеней. Используем формулу суммы степеней для нечетного показателя $n$: $x^n+y^n=(x+y)(x^{n-1}-x^{n-2}y+...+y^{n-1})$. Для $n=5$ имеем:
$x^5 + y^5 = (x+y)(x^4-x^3y+x^2y^2-xy^3+y^4)$
В нашем случае $x=4a$ и $y=2b$.
Сначала можно вынести общий множитель: $(4a)^5+(2b)^5 = (2 \cdot 2a)^5 + (2b)^5 = 2^5(2a)^5 + 2^5b^5 = 32((2a)^5 + b^5)$.
Теперь применим формулу для $(2a)^5 + b^5$, где $x=2a$ и $y=b$:
$32(2a+b)((2a)^4 - (2a)^3b + (2a)^2b^2 - (2a)b^3 + b^4)$
Упростим выражение в последней скобке:
$32(2a+b)(16a^4 - 8a^3b + 4a^2b^2 - 2ab^3 + b^4)$
Ответ: $32(2a+b)(16a^4 - 8a^3b + 4a^2b^2 - 2ab^3 + b^4)$

5) Рассмотрим выражение $(2x)^6+(3y)^6$. Это сумма шестых степеней. Мы можем представить ее как сумму кубов:
$(2x)^6+(3y)^6 = ((2x)^2)^3 + ((3y)^2)^3 = (4x^2)^3 + (9y^2)^3$
Используем формулу суммы кубов $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$.
В нашем случае $a=4x^2$ и $b=9y^2$. Подставим в формулу:
$(4x^2 + 9y^2)((4x^2)^2 - (4x^2)(9y^2) + (9y^2)^2)$
Упростим выражение во второй скобке:
$(4x^2 + 9y^2)(16x^4 - 36x^2y^2 + 81y^4)$
Ответ: $(4x^2 + 9y^2)(16x^4 - 36x^2y^2 + 81y^4)$

6.19. Запишите выражения в виде двучлена:

1) $(2x+1)(16x^4-8x^3+4x^2-2x+1);$

2) $(\frac{2}{3}x-3ab) \cdot (\frac{8}{27}x^3+\frac{4}{3}x^2ab+6xa^2b^2+27a^3b^3).$

1) Для того чтобы записать выражение $(2x+1)(16x^4-8x^3+4x^2-2x+1)$ в виде двучлена, воспользуемся формулой суммы пятых степеней: $a^5+b^5 = (a+b)(a^4-a^3b+a^2b^2-ab^3+b^4)$.
В данном выражении первый множитель $(2x+1)$ позволяет предположить, что $a = 2x$ и $b = 1$.
Проверим, соответствует ли второй множитель $(16x^4-8x^3+4x^2-2x+1)$ второй части формулы $(a^4-a^3b+a^2b^2-ab^3+b^4)$ при $a=2x$ и $b=1$.
Найдем каждый член этого выражения:
$a^4 = (2x)^4 = 16x^4$
$a^3b = (2x)^3 \cdot 1 = 8x^3$
$a^2b^2 = (2x)^2 \cdot 1^2 = 4x^2$
$ab^3 = (2x) \cdot 1^3 = 2x$
$b^4 = 1^4 = 1$
Подставив эти значения в формулу, получаем: $(2x)^4 - (2x)^3 \cdot 1 + (2x)^2 \cdot 1^2 - (2x) \cdot 1^3 + 1^4 = 16x^4-8x^3+4x^2-2x+1$.
Это в точности совпадает со вторым множителем в исходном выражении.Следовательно, мы можем применить формулу суммы пятых степеней:
$(2x+1)(16x^4-8x^3+4x^2-2x+1) = (2x)^5 + 1^5 = 32x^5 + 1$.
Ответ: $32x^5 + 1$

2) Для того чтобы записать выражение $(\frac{2}{3}x - 3ab) \cdot (\frac{8}{27}x^3 + \frac{4}{3}x^2ab + 6xa^2b^2 + 27a^3b^3)$ в виде двучлена, воспользуемся формулой разности четвертых степеней: $a^4-b^4 = (a-b)(a^3+a^2b+ab^2+b^3)$.
В данном выражении первый множитель $(\frac{2}{3}x - 3ab)$ позволяет предположить, что $a = \frac{2}{3}x$ и $b = 3ab$.
Проверим, соответствует ли второй множитель $(\frac{8}{27}x^3 + \frac{4}{3}x^2ab + 6xa^2b^2 + 27a^3b^3)$ второй части формулы $(a^3+a^2b+ab^2+b^3)$ при $a = \frac{2}{3}x$ и $b = 3ab$.
Найдем каждый член этого выражения:
$a^3 = (\frac{2}{3}x)^3 = \frac{8}{27}x^3$
$a^2b = (\frac{2}{3}x)^2 \cdot (3ab) = \frac{4}{9}x^2 \cdot 3ab = \frac{12}{9}x^2ab = \frac{4}{3}x^2ab$
$ab^2 = (\frac{2}{3}x) \cdot (3ab)^2 = \frac{2}{3}x \cdot 9a^2b^2 = \frac{18}{3}xa^2b^2 = 6xa^2b^2$
$b^3 = (3ab)^3 = 27a^3b^3$
Подставив эти значения в формулу, получаем: $(\frac{2}{3}x)^3 + (\frac{2}{3}x)^2(3ab) + (\frac{2}{3}x)(3ab)^2 + (3ab)^3 = \frac{8}{27}x^3 + \frac{4}{3}x^2ab + 6xa^2b^2 + 27a^3b^3$.
Это в точности совпадает со вторым множителем в исходном выражении.Следовательно, мы можем применить формулу разности четвертых степеней:
$(\frac{2}{3}x - 3ab) \cdot (\frac{8}{27}x^3 + \frac{4}{3}x^2ab + 6xa^2b^2 + 27a^3b^3) = (\frac{2}{3}x)^4 - (3ab)^4 = \frac{16}{81}x^4 - 81a^4b^4$.
Ответ: $\frac{16}{81}x^4 - 81a^4b^4$

6.20. Покажите, что число:

1) $143^{15}-81^{15}$ делится на 62;

2) $12^{31}+28^{31}$ делится на 80.

1) Для доказательства делимости числа $143^{15} - 81^{15}$ на $62$ воспользуемся формулой сокращенного умножения для разности степеней: $a^n - b^n = (a - b)(a^{n-1} + a^{n-2}b + \dots + ab^{n-2} + b^{n-1})$. Эта формула верна для любого натурального показателя $n$.

В нашем случае $a = 143$, $b = 81$ и $n = 15$. Применяя формулу, получаем:

$143^{15} - 81^{15} = (143 - 81)(143^{14} + 143^{13} \cdot 81 + \dots + 81^{14})$.

Вычислим значение первого множителя:

$143 - 81 = 62$.

Таким образом, исходное выражение можно представить в виде:

$143^{15} - 81^{15} = 62 \cdot (143^{14} + 143^{13} \cdot 81 + \dots + 81^{14})$.

Второй множитель в этом произведении является целым числом, так как он представляет собой сумму произведений целых чисел. Поскольку исходное число равно произведению $62$ и некоторого целого числа, оно делится на $62$ без остатка. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

2) Для доказательства делимости числа $12^{31} + 28^{31}$ на $80$ воспользуемся формулой сокращенного умножения для суммы степеней: $a^n + b^n = (a + b)(a^{n-1} - a^{n-2}b + a^{n-3}b^2 - \dots + b^{n-1})$. Эта формула верна для любого нечетного натурального показателя $n$.

В нашем случае $a = 12$, $b = 28$, а показатель степени $n = 31$ является нечетным числом. Следовательно, формула применима.

$12^{31} + 28^{31} = (12 + 28)(12^{30} - 12^{29} \cdot 28 + \dots + 28^{30})$.

Найдем значение первого множителя:

$12 + 28 = 40$.

Тогда выражение можно переписать как:

$12^{31} + 28^{31} = 40 \cdot (12^{30} - 12^{29} \cdot 28 + \dots + 28^{30})$.

Из этого следует, что исходное число делится на $40$. Чтобы доказать делимость на $80$, нужно показать, что второй множитель, который мы обозначим как $K = (12^{30} - 12^{29} \cdot 28 + \dots + 28^{30})$, является четным числом, то есть делится на $2$.

Рассмотрим слагаемые, из которых состоит $K$. Каждое слагаемое представляет собой произведение вида $12^i \cdot 28^j$, где $i+j=30$. Основания степеней, $12$ и $28$, являются четными числами. Любое произведение, содержащее хотя бы один четный множитель, является четным. Каждое слагаемое в выражении для $K$ содержит в качестве множителя либо степень числа $12$, либо степень числа $28$ (или обе), поэтому каждое слагаемое является четным.

Сумма или разность любого количества четных чисел всегда является четным числом. Так как $K$ представляет собой алгебраическую сумму из 31 слагаемого, каждое из которых четное, то и само число $K$ является четным. Значит, его можно представить в виде $K = 2m$, где $m$ — некоторое целое число.

Подставим это в наше выражение:

$12^{31} + 28^{31} = 40 \cdot K = 40 \cdot (2m) = 80m$.

Полученное выражение показывает, что число $12^{31} + 28^{31}$ является произведением $80$ и целого числа $m$, а значит, делится на $80$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

6.21. Докажите, что, если $k^2-ac>0$, то корни уравнения $ax^2+2kx+c=0$ определяются по формулам

$x_1 = \frac{-k - \sqrt{k^2 - ac}}{a}$

$x_2 = \frac{-k + \sqrt{k^2 - ac}}{a}$

Для доказательства воспользуемся стандартной формулой для нахождения корней квадратного уравнения вида $Ax^2 + Bx + C = 0$, которая имеет вид:

$x_{1,2} = \frac{-B \pm \sqrt{B^2 - 4AC}}{2A}$

В данном нам уравнении $ax^2 + 2kx + c = 0$ коэффициенты равны:

$A = a$

$B = 2k$

$C = c$

Подставим эти коэффициенты в общую формулу корней квадратного уравнения:

$x_{1,2} = \frac{-(2k) \pm \sqrt{(2k)^2 - 4ac}}{2a}$

Теперь упростим полученное выражение. Сначала возведем в квадрат выражение в подкоренном выражении (дискриминанте):

$x_{1,2} = \frac{-2k \pm \sqrt{4k^2 - 4ac}}{2a}$

В подкоренном выражении можно вынести общий множитель 4 за скобки:

$x_{1,2} = \frac{-2k \pm \sqrt{4(k^2 - ac)}}{2a}$

Извлечем корень из 4:

$x_{1,2} = \frac{-2k \pm 2\sqrt{k^2 - ac}}{2a}$

Условие $k^2 - ac > 0$ гарантирует, что выражение под корнем положительно, а значит, уравнение имеет два различных действительных корня.

Теперь вынесем общий множитель 2 в числителе за скобки и сократим дробь:

$x_{1,2} = \frac{2(-k \pm \sqrt{k^2 - ac})}{2a} = \frac{-k \pm \sqrt{k^2 - ac}}{a}$

Таким образом, мы получили две формулы для корней уравнения, разделив выражение на два случая (с плюсом и с минусом):

$x_1 = \frac{-k - \sqrt{k^2 - ac}}{a}$

$x_2 = \frac{-k + \sqrt{k^2 - ac}}{a}$

Эти формулы полностью совпадают с теми, что даны в условии задачи. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что если $k^2-ac>0$, то корни уравнения $ax^2+2kx+c=0$ определяются по формулам $x_1 = \frac{-k - \sqrt{k^2 - ac}}{a}$ и $x_2 = \frac{-k + \sqrt{k^2 - ac}}{a}$.

6.22. Докажите теорему Виета.

Теорема Виета устанавливает связь между корнями многочлена и его коэффициентами. Для наиболее распространенного случая — квадратного уравнения — теорема формулируется и доказывается следующим образом.

Формулировка теоремы Виета для квадратного уравнения

Если $x_1$ и $x_2$ являются корнями квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ (где $a \neq 0$), то их сумма и произведение связаны с коэффициентами уравнения следующими соотношениями:

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$

Доказательство

Докажем эту теорему, используя теорему о разложении квадратного трехчлена на множители. Согласно этой теореме, если квадратный трехчлен $ax^2 + bx + c$ имеет корни $x_1$ и $x_2$, то его можно представить в виде тождества:

$ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$

Раскроем скобки в правой части этого равенства:

$a(x - x_1)(x - x_2) = a(x^2 - x_1x - x_2x + x_1x_2) = a(x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1x_2)$

Умножим выражение в скобках на коэффициент $a$:

$ax^2 - a(x_1 + x_2)x + a(x_1x_2)$

Теперь мы можем приравнять исходный многочлен и полученное выражение, так как они тождественно равны:

$ax^2 + bx + c \equiv ax^2 - a(x_1 + x_2)x + a(x_1x_2)$

Два многочлена тождественно равны тогда и только тогда, когда равны их коэффициенты при одинаковых степенях переменной $x$. Сравним коэффициенты при $x$ и свободные члены.

1. Приравняем коэффициенты при $x$ в первой степени:

$b = -a(x_1 + x_2)$

Так как по определению квадратного уравнения $a \neq 0$, мы можем разделить обе части на $-a$:

$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$

Первое соотношение теоремы доказано.

2. Приравняем свободные члены (коэффициенты при $x^0$):

$c = a(x_1x_2)$

Разделим обе части на $a$:

$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$

Второе соотношение также доказано. Таким образом, теорема Виета полностью доказана.

Следствие для приведенного квадратного уравнения

Для приведенного квадратного уравнения вида $x^2 + px + q = 0$, которое является частным случаем общего, где $a=1, b=p, c=q$, формулы Виета упрощаются:

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -p$

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = q$

Ответ: Доказано, что для корней $x_1$ и $x_2$ квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ выполняются соотношения: $x_1 + x_2 = -b/a$ и $x_1 \cdot x_2 = c/a$.

6.23. Решите уравнения и разложите на множители соответствующий квадратный трехчлен:

1) $2x^2 + 5x - 7 = 0;$

2) $4x^2 - x - 14 = 0;$

3) $3x^2 - 8x + 5 = 0;$

4) $7x^2 + x - 8 = 0.$

1) $2x^2 + 5x - 7 = 0$

Сначала решим уравнение. Коэффициенты уравнения: $a=2, b=5, c=-7$.

Заметим, что сумма коэффициентов $a+b+c = 2+5+(-7) = 0$. В этом случае, корнями уравнения являются $x_1 = 1$ и $x_2 = \frac{c}{a}$.

$x_1 = 1$

$x_2 = \frac{-7}{2}$

Теперь разложим соответствующий квадратный трехчлен $2x^2 + 5x - 7$ на множители, используя формулу $a(x-x_1)(x-x_2)$:

$2x^2 + 5x - 7 = 2(x-1)(x-(-\frac{7}{2})) = 2(x-1)(x+\frac{7}{2})$.

Чтобы избавиться от дроби, внесем множитель 2 во вторую скобку: $2(x-1)(x+\frac{7}{2}) = (x-1)(2x+7)$.

Ответ: корни уравнения: $1$ и $-\frac{7}{2}$; разложение на множители: $2x^2 + 5x - 7 = (x-1)(2x+7)$.

2) $4x^2 - x - 14 = 0$

Решим уравнение с помощью дискриминанта. Коэффициенты: $a=4, b=-1, c=-14$.

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-14) = 1 + 224 = 225$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. $\sqrt{D} = \sqrt{225} = 15$.

Найдем корни уравнения по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{1 + 15}{2 \cdot 4} = \frac{16}{8} = 2$.

$x_2 = \frac{1 - 15}{2 \cdot 4} = \frac{-14}{8} = -\frac{7}{4}$.

Теперь разложим трехчлен $4x^2 - x - 14$ на множители:

$4x^2 - x - 14 = 4(x-2)(x-(-\frac{7}{4})) = 4(x-2)(x+\frac{7}{4})$.

Внесем множитель 4 во вторую скобку: $4(x-2)(x+\frac{7}{4}) = (x-2)(4x+7)$.

Ответ: корни уравнения: $2$ и $-\frac{7}{4}$; разложение на множители: $4x^2 - x - 14 = (x-2)(4x+7)$.

3) $3x^2 - 8x + 5 = 0$

Сначала решим уравнение. Коэффициенты: $a=3, b=-8, c=5$.

Сумма коэффициентов $a+b+c = 3+(-8)+5 = 0$. Следовательно, корни уравнения $x_1 = 1$ и $x_2 = \frac{c}{a}$.

$x_1 = 1$

$x_2 = \frac{5}{3}$

Теперь разложим трехчлен $3x^2 - 8x + 5$ на множители:

$3x^2 - 8x + 5 = 3(x-1)(x-\frac{5}{3})$.

Внесем множитель 3 во вторую скобку: $3(x-1)(x-\frac{5}{3}) = (x-1)(3x-5)$.

Ответ: корни уравнения: $1$ и $\frac{5}{3}$; разложение на множители: $3x^2 - 8x + 5 = (x-1)(3x-5)$.

4) $7x^2 + x - 8 = 0$

Решим уравнение. Коэффициенты: $a=7, b=1, c=-8$.

Сумма коэффициентов $a+b+c = 7+1+(-8) = 0$. Следовательно, корни уравнения $x_1 = 1$ и $x_2 = \frac{c}{a}$.

$x_1 = 1$

$x_2 = \frac{-8}{7}$

Теперь разложим трехчлен $7x^2 + x - 8$ на множители:

$7x^2 + x - 8 = 7(x-1)(x-(-\frac{8}{7})) = 7(x-1)(x+\frac{8}{7})$.

Внесем множитель 7 во вторую скобку: $7(x-1)(x+\frac{8}{7}) = (x-1)(7x+8)$.

Ответ: корни уравнения: $1$ и $-\frac{8}{7}$; разложение на множители: $7x^2 + x - 8 = (x-1)(7x+8)$.

6.24. Докажите тождество $a \left(\left(x+\frac{b}{2a}\right)^{2}-\frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}}\right)=ax^{2}+bx+c.$

6.24. Для доказательства тождества необходимо преобразовать его левую часть и показать, что она равна правой части.

Рассмотрим левую часть выражения: $a\left(\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2-4ac}{4a^2}\right)$.

1. Сначала раскроем квадрат суммы $\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2$ по формуле $(m+n)^2 = m^2+2mn+n^2$:
$\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{b}{2a} + \left(\frac{b}{2a}\right)^2 = x^2 + \frac{bx}{a} + \frac{b^2}{4a^2}$.

2. Подставим результат обратно в исходное выражение:
$a\left( \left( x^2 + \frac{bx}{a} + \frac{b^2}{4a^2} \right) - \frac{b^2-4ac}{4a^2} \right)$.

3. Теперь упростим выражение в больших скобках. Так как дроби имеют общий знаменатель $4a^2$, мы можем их вычесть:
$a\left( x^2 + \frac{bx}{a} + \frac{b^2 - (b^2-4ac)}{4a^2} \right)$.

4. Раскроем скобки в числителе дроби:
$a\left( x^2 + \frac{bx}{a} + \frac{b^2 - b^2 + 4ac}{4a^2} \right) = a\left( x^2 + \frac{bx}{a} + \frac{4ac}{4a^2} \right)$.

5. Сократим последнюю дробь:
$\frac{4ac}{4a^2} = \frac{c}{a}$.
Выражение примет вид: $a\left(x^2 + \frac{bx}{a} + \frac{c}{a}\right)$.

6. Наконец, умножим множитель $a$ на каждый член в скобках:
$a \cdot x^2 + a \cdot \frac{bx}{a} + a \cdot \frac{c}{a} = ax^2 + bx + c$.

Полученное выражение $ax^2 + bx + c$ в точности совпадает с правой частью исходного равенства. Таким образом, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано. В результате алгебраических преобразований левая часть $a\left(\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2-4ac}{4a^2}\right)$ приводится к виду правой части $ax^2 + bx + c$.

6.25. Покажите, что числа $x_1 = 1$, $x_2 = -\frac{c}{a}$ являются корнями уравнения $ax^2 + bx + c = 0$, если $a + b + c = 0$.

Для того чтобы доказать, что числа $x_1 = 1$ и $x_2 = \frac{c}{a}$ являются корнями уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ при условии $a + b + c = 0$, необходимо показать, что при подстановке этих значений в уравнение оно обращается в верное равенство. Это можно сделать несколькими способами.

Способ 1: Прямая подстановка

Этот способ заключается в прямой подстановке значений $x_1$ и $x_2$ в исходное уравнение.

Проверка для корня $x_1 = 1$

Подставим значение $x = 1$ в левую часть уравнения $ax^2 + bx + c = 0$:

$a \cdot (1)^2 + b \cdot (1) + c = a + b + c$.

По условию задачи, сумма коэффициентов $a + b + c = 0$. Таким образом, мы получаем $0=0$, что является верным равенством. Это доказывает, что $x_1 = 1$ является корнем уравнения.

Проверка для корня $x_2 = \frac{c}{a}$

Подставим значение $x = \frac{c}{a}$ в левую часть уравнения. Заметим, что для существования такого корня и для того, чтобы уравнение было квадратным, должно выполняться условие $a \neq 0$.

$a \cdot \left(\frac{c}{a}\right)^2 + b \cdot \left(\frac{c}{a}\right) + c = a \cdot \frac{c^2}{a^2} + \frac{bc}{a} + c = \frac{c^2}{a} + \frac{bc}{a} + c$.

Приведем все слагаемые к общему знаменателю $a$:

$\frac{c^2}{a} + \frac{bc}{a} + \frac{ac}{a} = \frac{c^2 + bc + ac}{a}$.

Вынесем в числителе общий множитель $c$ за скобки:

$\frac{c(c + b + a)}{a}$.

Используя условие $a + b + c = 0$, подставим 0 вместо выражения в скобках:

$\frac{c \cdot 0}{a} = 0$.

Мы снова получили верное равенство $0=0$, что доказывает, что $x_2 = \frac{c}{a}$ также является корнем уравнения.

Способ 2: Использование теоремы Виета

Теорема Виета устанавливает связь между корнями $x_1, x_2$ и коэффициентами квадратного уравнения $ax^2+bx+c=0$:

$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$

$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$

Как мы уже доказали в первом способе, $x_1 = 1$ является корнем уравнения, так как $a+b+c=0$.

Используем вторую формулу Виета для произведения корней, чтобы найти второй корень $x_2$:

$1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$

Отсюда напрямую следует, что $x_2 = \frac{c}{a}$.

Это доказывает, что если один корень равен 1, то второй обязательно равен $\frac{c}{a}$.

Ответ: Мы показали двумя способами (прямой подстановкой и с использованием теоремы Виета), что если для квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ выполняется условие $a + b + c = 0$, то числа $x_1 = 1$ и $x_2 = \frac{c}{a}$ являются его корнями.