Номер 6.20, страница 198 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.20. Покажите, что число:

1) $143^{15}-81^{15}$ делится на 62;

2) $12^{31}+28^{31}$ делится на 80.

1) Для доказательства делимости числа $143^{15} - 81^{15}$ на $62$ воспользуемся формулой сокращенного умножения для разности степеней: $a^n - b^n = (a - b)(a^{n-1} + a^{n-2}b + \dots + ab^{n-2} + b^{n-1})$. Эта формула верна для любого натурального показателя $n$.

В нашем случае $a = 143$, $b = 81$ и $n = 15$. Применяя формулу, получаем:

$143^{15} - 81^{15} = (143 - 81)(143^{14} + 143^{13} \cdot 81 + \dots + 81^{14})$.

Вычислим значение первого множителя:

$143 - 81 = 62$.

Таким образом, исходное выражение можно представить в виде:

$143^{15} - 81^{15} = 62 \cdot (143^{14} + 143^{13} \cdot 81 + \dots + 81^{14})$.

Второй множитель в этом произведении является целым числом, так как он представляет собой сумму произведений целых чисел. Поскольку исходное число равно произведению $62$ и некоторого целого числа, оно делится на $62$ без остатка. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

2) Для доказательства делимости числа $12^{31} + 28^{31}$ на $80$ воспользуемся формулой сокращенного умножения для суммы степеней: $a^n + b^n = (a + b)(a^{n-1} - a^{n-2}b + a^{n-3}b^2 - \dots + b^{n-1})$. Эта формула верна для любого нечетного натурального показателя $n$.

В нашем случае $a = 12$, $b = 28$, а показатель степени $n = 31$ является нечетным числом. Следовательно, формула применима.

$12^{31} + 28^{31} = (12 + 28)(12^{30} - 12^{29} \cdot 28 + \dots + 28^{30})$.

Найдем значение первого множителя:

$12 + 28 = 40$.

Тогда выражение можно переписать как:

$12^{31} + 28^{31} = 40 \cdot (12^{30} - 12^{29} \cdot 28 + \dots + 28^{30})$.

Из этого следует, что исходное число делится на $40$. Чтобы доказать делимость на $80$, нужно показать, что второй множитель, который мы обозначим как $K = (12^{30} - 12^{29} \cdot 28 + \dots + 28^{30})$, является четным числом, то есть делится на $2$.

Рассмотрим слагаемые, из которых состоит $K$. Каждое слагаемое представляет собой произведение вида $12^i \cdot 28^j$, где $i+j=30$. Основания степеней, $12$ и $28$, являются четными числами. Любое произведение, содержащее хотя бы один четный множитель, является четным. Каждое слагаемое в выражении для $K$ содержит в качестве множителя либо степень числа $12$, либо степень числа $28$ (или обе), поэтому каждое слагаемое является четным.

Сумма или разность любого количества четных чисел всегда является четным числом. Так как $K$ представляет собой алгебраическую сумму из 31 слагаемого, каждое из которых четное, то и само число $K$ является четным. Значит, его можно представить в виде $K = 2m$, где $m$ — некоторое целое число.

Подставим это в наше выражение:

$12^{31} + 28^{31} = 40 \cdot K = 40 \cdot (2m) = 80m$.

Полученное выражение показывает, что число $12^{31} + 28^{31}$ является произведением $80$ и целого числа $m$, а значит, делится на $80$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.