Номер 6.24, страница 198 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.24. Докажите тождество $a \left(\left(x+\frac{b}{2a}\right)^{2}-\frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}}\right)=ax^{2}+bx+c.$

6.24. Для доказательства тождества необходимо преобразовать его левую часть и показать, что она равна правой части.

Рассмотрим левую часть выражения: $a\left(\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2-4ac}{4a^2}\right)$.

1. Сначала раскроем квадрат суммы $\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2$ по формуле $(m+n)^2 = m^2+2mn+n^2$:
$\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{b}{2a} + \left(\frac{b}{2a}\right)^2 = x^2 + \frac{bx}{a} + \frac{b^2}{4a^2}$.

2. Подставим результат обратно в исходное выражение:
$a\left( \left( x^2 + \frac{bx}{a} + \frac{b^2}{4a^2} \right) - \frac{b^2-4ac}{4a^2} \right)$.

3. Теперь упростим выражение в больших скобках. Так как дроби имеют общий знаменатель $4a^2$, мы можем их вычесть:
$a\left( x^2 + \frac{bx}{a} + \frac{b^2 - (b^2-4ac)}{4a^2} \right)$.

4. Раскроем скобки в числителе дроби:
$a\left( x^2 + \frac{bx}{a} + \frac{b^2 - b^2 + 4ac}{4a^2} \right) = a\left( x^2 + \frac{bx}{a} + \frac{4ac}{4a^2} \right)$.

5. Сократим последнюю дробь:
$\frac{4ac}{4a^2} = \frac{c}{a}$.
Выражение примет вид: $a\left(x^2 + \frac{bx}{a} + \frac{c}{a}\right)$.

6. Наконец, умножим множитель $a$ на каждый член в скобках:
$a \cdot x^2 + a \cdot \frac{bx}{a} + a \cdot \frac{c}{a} = ax^2 + bx + c$.

Полученное выражение $ax^2 + bx + c$ в точности совпадает с правой частью исходного равенства. Таким образом, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано. В результате алгебраических преобразований левая часть $a\left(\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2-4ac}{4a^2}\right)$ приводится к виду правой части $ax^2 + bx + c$.