Номер 6.27, страница 199 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.27. При каких значениях $a$ уравнение $(x^2 - a)(x^2 + 3ax + a)=0$ имеет ровно 2 корня?

Исходное уравнение $(x^2 - a)(x^2 + 3ax + a) = 0$ равносильно совокупности двух уравнений:

1) $x^2 - a = 0$

2) $x^2 + 3ax + a = 0$

Общее количество различных корней исходного уравнения равно количеству различных корней в объединении множеств корней этих двух уравнений. Нам необходимо найти все значения параметра $a$, при которых это количество равно двум.

Рассмотрим каждое уравнение по отдельности.

Анализ уравнения (1): $x^2 - a = 0$

Это уравнение можно переписать как $x^2 = a$.

• Если $a < 0$, уравнение не имеет действительных корней.
• Если $a = 0$, уравнение имеет один корень: $x = 0$.
• Если $a > 0$, уравнение имеет два различных корня: $x_1 = \sqrt{a}$ и $x_2 = -\sqrt{a}$.

Анализ уравнения (2): $x^2 + 3ax + a = 0$

Это квадратное уравнение. Количество его корней зависит от знака дискриминанта $D_2$.

$D_2 = (3a)^2 - 4 \cdot 1 \cdot a = 9a^2 - 4a = a(9a - 4)$.

• Если $D_2 < 0$, уравнение не имеет действительных корней. Неравенство $a(9a - 4) < 0$ выполняется при $0 < a < 4/9$.
• Если $D_2 = 0$, уравнение имеет один корень. Это происходит при $a = 0$ или $a = 4/9$.
  • При $a = 0$ уравнение принимает вид $x^2 = 0$, корень $x = 0$.
  • При $a = 4/9$ уравнение принимает вид $x^2 + 3(\frac{4}{9})x + \frac{4}{9} = 0 \implies x^2 + \frac{4}{3}x + \frac{4}{9} = 0 \implies (x + \frac{2}{3})^2 = 0$, корень $x = -2/3$.
• Если $D_2 > 0$, уравнение имеет два различных корня. Неравенство $a(9a - 4) > 0$ выполняется при $a < 0$ или $a > 4/9$.

Теперь рассмотрим все возможные случаи, чтобы общее количество различных корней было равно двум.

Случай 1: $a < 0$

Уравнение (1), $x^2=a$, не имеет корней.

Для уравнения (2), $x^2+3ax+a=0$, дискриминант $D_2 = a(9a-4)$. Так как $a<0$ и $(9a-4)<0$, то $D_2>0$. Следовательно, уравнение (2) имеет два различных корня.

В итоге, совокупность уравнений имеет $0 + 2 = 2$ корня. Таким образом, все значения $a < 0$ являются решением.

Случай 2: $a = 0$

Уравнение (1), $x^2=0$, имеет один корень: $x=0$.

Уравнение (2), $x^2=0$, имеет один корень: $x=0$.

Объединение корней дает один-единственный корень $x=0$. Этот случай не подходит, так как нам нужно ровно 2 корня.

Случай 3: $0 < a < 4/9$

Уравнение (1), $x^2=a$, имеет два различных корня: $x = \pm\sqrt{a}$.

Для уравнения (2), $x^2+3ax+a=0$, дискриминант $D_2 = a(9a-4)$. Так как $a>0$ и $(9a-4)<0$, то $D_2<0$. Уравнение (2) не имеет действительных корней.

В итоге, совокупность уравнений имеет $2 + 0 = 2$ корня. Таким образом, все значения $a \in (0, 4/9)$ являются решением.

Случай 4: $a = 4/9$

Уравнение (1), $x^2=4/9$, имеет два различных корня: $x = \pm 2/3$.

Уравнение (2), $x^2 + \frac{4}{3}x + \frac{4}{9} = 0$, имеет один корень (так как $D_2=0$): $x = -2/3$.

Множество корней первого уравнения: $\{2/3, -2/3\}$. Множество корней второго уравнения: $\{-2/3\}$.

Объединение этих множеств: $\{2/3, -2/3\}$, которое содержит ровно 2 различных элемента. Таким образом, $a=4/9$ является решением.

Случай 5: $a > 4/9$

Уравнение (1), $x^2=a$, имеет два различных корня: $x = \pm\sqrt{a}$.

Для уравнения (2), $x^2+3ax+a=0$, дискриминант $D_2 = a(9a-4)$. Так как $a>4/9$, то $a>0$ и $(9a-4)>0$, следовательно $D_2>0$. Уравнение (2) также имеет два различных корня.

В этом случае общее число корней может быть 2, 3 или 4. Это зависит от того, есть ли совпадающие корни между уравнениями. Проверим, могут ли корни уравнения (1) быть корнями уравнения (2).

Подставим $x=\sqrt{a}$ в уравнение (2): $(\sqrt{a})^2 + 3a(\sqrt{a}) + a = a + 3a\sqrt{a} + a = 2a + 3a\sqrt{a} = a(2+3\sqrt{a})$. Так как $a > 4/9 > 0$, то $a(2+3\sqrt{a}) > 0$. Следовательно, $x=\sqrt{a}$ не является корнем второго уравнения.

Подставим $x=-\sqrt{a}$ в уравнение (2): $(-\sqrt{a})^2 + 3a(-\sqrt{a}) + a = a - 3a\sqrt{a} + a = 2a - 3a\sqrt{a} = a(2-3\sqrt{a})$. Так как $a > 4/9$, то $\sqrt{a} > \sqrt{4/9} = 2/3$, откуда $3\sqrt{a} > 2$ и $2-3\sqrt{a} < 0$. Значит, $a(2-3\sqrt{a}) \neq 0$. Следовательно, $x=-\sqrt{a}$ также не является корнем второго уравнения.

Поскольку корни уравнений (1) и (2) не совпадают, общее число различных корней равно $2+2=4$. Этот случай не подходит.

Итог

Объединяя все найденные решения из рассмотренных случаев, получаем, что исходное уравнение имеет ровно два корня при $a \in (-\infty, 0) \cup (0, 4/9) \cup \{4/9\}$.

Это можно записать в виде $a \in (-\infty, 0) \cup (0, 4/9]$.

Ответ: $a \in (-\infty, 0) \cup (0, 4/9]$.