Страница 205 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.67. Пусть $b_1, b_2, ..., b_n, ...$ – геометрическая прогрессия со знаменателем $q$. Докажите формулы:

$b_n=b_1q^{n-1}$, $b_n^2 = b_{n-1}b_{n+1}$, $S_n = \frac{b_1(1-q^n)}{1-q}$,

где $S_n$ – сумма первых $n$ членов прогрессии.

В задаче требуется доказать три основные формулы для геометрической прогрессии $b_1, b_2, \dots, b_n, \dots$ со знаменателем $q$.

$b_n = b_1 q^{n-1}$

Доказательство этой формулы для n-го члена прогрессии удобно провести методом математической индукции.

1. База индукции. Проверим справедливость формулы для $n=1$.
Подставляя $n=1$ в формулу, получаем: $b_1 = b_1 q^{1-1} = b_1 q^0 = b_1 \cdot 1 = b_1$.
Равенство верно, база индукции выполняется.

2. Индукционное предположение. Предположим, что формула верна для некоторого натурального числа $k \ge 1$, то есть справедливо равенство $b_k = b_1 q^{k-1}$.

3. Индукционный переход. Докажем, что из предположения о справедливости формулы для $n=k$ следует её справедливость для $n = k+1$. То есть, нам нужно доказать, что $b_{k+1} = b_1 q^k$.
По определению геометрической прогрессии, каждый следующий член равен предыдущему, умноженному на знаменатель $q$: $b_{k+1} = b_k \cdot q$.
Используя индукционное предположение ($b_k = b_1 q^{k-1}$), подставим его в это равенство:
$b_{k+1} = (b_1 q^{k-1}) \cdot q = b_1 q^{k-1+1} = b_1 q^k$.
Мы получили в точности то равенство, которое требовалось доказать.

Таким образом, по принципу математической индукции, формула $b_n = b_1 q^{n-1}$ доказана для всех натуральных $n$.

Ответ: Формула доказана.

$b_n^2 = b_{n-1} b_{n+1}$

Это равенство выражает характеристическое свойство геометрической прогрессии: квадрат любого члена прогрессии (начиная со второго) равен произведению его соседних членов. Для доказательства воспользуемся доказанной выше формулой n-го члена $b_k = b_1 q^{k-1}$. Свойство определено для членов, у которых есть соседи с обеих сторон, то есть для $n \ge 2$.

Выразим члены $b_{n-1}$, $b_n$ и $b_{n+1}$ через первый член $b_1$ и знаменатель $q$:
$b_n = b_1 q^{n-1}$
$b_{n-1} = b_1 q^{(n-1)-1} = b_1 q^{n-2}$
$b_{n+1} = b_1 q^{(n+1)-1} = b_1 q^{n}$

Теперь подставим эти выражения в левую и правую части доказываемого равенства.
Левая часть: $b_n^2 = (b_1 q^{n-1})^2 = b_1^2 \cdot (q^{n-1})^2 = b_1^2 q^{2(n-1)} = b_1^2 q^{2n-2}$.
Правая часть: $b_{n-1} \cdot b_{n+1} = (b_1 q^{n-2}) \cdot (b_1 q^{n}) = b_1^2 \cdot q^{(n-2)+n} = b_1^2 q^{2n-2}$.

Поскольку левая и правая части равны ($b_1^2 q^{2n-2} = b_1^2 q^{2n-2}$), равенство $b_n^2 = b_{n-1} b_{n+1}$ доказано.

Ответ: Формула доказана.

$S_n = \frac{b_1(1-q^n)}{1-q}$

$S_n$ — это сумма первых $n$ членов геометрической прогрессии: $S_n = b_1 + b_2 + \dots + b_n$.
Используя формулу n-го члена $b_k = b_1 q^{k-1}$, запишем сумму в развернутом виде:
$S_n = b_1 + b_1 q + b_1 q^2 + \dots + b_1 q^{n-1}$.

Доказательство требует рассмотрения двух случаев в зависимости от значения знаменателя $q$.

Случай 1: $q=1$.
В этом случае прогрессия представляет собой последовательность одинаковых чисел: $b_1, b_1, b_1, \dots$. Сумма первых $n$ членов равна:
$S_n = \underbrace{b_1 + b_1 + \dots + b_1}_{n \text{ слагаемых}} = n \cdot b_1$.
Данная в условии формула не применима при $q=1$, так как знаменатель дроби $1-q$ обращается в ноль. Формула доказывается для случая $q \ne 1$.

Случай 2: $q \ne 1$.
Запишем выражение для суммы $S_n$:
$S_n = b_1 + b_1 q + b_1 q^2 + \dots + b_1 q^{n-1}$ (1)

Умножим обе части этого равенства на $q$:
$S_n \cdot q = b_1 q + b_1 q^2 + b_1 q^3 + \dots + b_1 q^n$ (2)

Теперь вычтем равенство (2) из равенства (1):
$S_n - S_n \cdot q = (b_1 + b_1 q + \dots + b_1 q^{n-1}) - (b_1 q + b_1 q^2 + \dots + b_1 q^n)$.
После вычитания большинство членов в правой части взаимно уничтожаются, и остаются только первый член из первой скобки и последний член из второй:
$S_n(1-q) = b_1 - b_1 q^n$.

Вынесем $b_1$ за скобки в правой части:
$S_n(1-q) = b_1(1-q^n)$.

Так как мы рассматриваем случай $q \ne 1$, то $1-q \ne 0$, и мы можем разделить обе части равенства на $(1-q)$:
$S_n = \frac{b_1(1-q^n)}{1-q}$.

Ответ: Формула доказана (при условии $q \ne 1$).

6.68. Пусть $b_1, b_2, ..., b_n, ...$ – бесконечно убывающая геометрическая прогрессия со знаменателем $q$ $(|q|<1)$. Докажите формулу $b_1 + b_2 + ... + b_n + ... = \frac{b_1}{1-q}$.

Суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии $S = b_1 + b_2 + \dots + b_n + \dots$ по определению является предел последовательности ее частичных сумм $S_n$ при $n \to \infty$.

$S = \lim_{n \to \infty} S_n$, где $S_n = b_1 + b_2 + \dots + b_n$.

Сначала найдем формулу для суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии, $S_n$. По определению геометрической прогрессии, $n$-й член равен $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$, где $b_1$ — первый член, а $q$ — знаменатель.

Запишем сумму $S_n$:

$S_n = b_1 + b_1q + b_1q^2 + \dots + b_1q^{n-1}$

Умножим обе части этого равенства на $q$:

$qS_n = b_1q + b_1q^2 + b_1q^3 + \dots + b_1q^n$

Теперь вычтем второе равенство из первого:

$S_n - qS_n = (b_1 + b_1q + \dots + b_1q^{n-1}) - (b_1q + b_1q^2 + \dots + b_1q^n)$

Большинство членов в правой части сокращаются:

$S_n(1-q) = b_1 - b_1q^n = b_1(1-q^n)$

По условию задачи, $|q| < 1$, что означает $q \neq 1$. Следовательно, мы можем разделить обе части на $(1-q)$:

$S_n = \frac{b_1(1-q^n)}{1-q}$

Теперь мы можем найти сумму бесконечной прогрессии, взяв предел от $S_n$ при $n$, стремящемся к бесконечности:

$S = \lim_{n \to \infty} S_n = \lim_{n \to \infty} \frac{b_1(1-q^n)}{1-q}$

Поскольку по условию $|q| < 1$, предел степени $q^n$ при $n \to \infty$ равен нулю:

$\lim_{n \to \infty} q^n = 0$

Подставляя это значение в формулу для $S$, получаем:

$S = \frac{b_1(1-0)}{1-q} = \frac{b_1}{1-q}$

Таким образом, мы доказали требуемую формулу.

Ответ: $b_1 + b_2 + \dots + b_n + \dots = \frac{b_1}{1-q}$

6.69. Найдите сумму первых 10 членов арифметической прогрессии, если:

1) $a_2=7, a_4=11;$

2) $a_3=5, a_8=13;$

3) $a_5+a_6=11.$

1)

Для нахождения суммы первых 10 членов арифметической прогрессии $S_{10}$ воспользуемся формулой $S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n$, где $a_1$ — первый член прогрессии, а $d$ — её разность. При $n=10$ формула имеет вид $S_{10} = \frac{2a_1 + 9d}{2} \cdot 10 = 5(2a_1 + 9d)$.

Сначала найдём $a_1$ и $d$, используя данные $a_2=7$ и $a_4=11$. Формула n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

Составим систему уравнений:

$a_2 = a_1 + (2-1)d = a_1 + d = 7$

$a_4 = a_1 + (4-1)d = a_1 + 3d = 11$

Вычтем из второго уравнения первое:

$(a_1 + 3d) - (a_1 + d) = 11 - 7$

$2d = 4$

$d = 2$

Теперь подставим значение $d$ в первое уравнение, чтобы найти $a_1$:

$a_1 + 2 = 7$

$a_1 = 5$

Теперь мы можем вычислить сумму первых 10 членов:

$S_{10} = 5(2a_1 + 9d) = 5(2 \cdot 5 + 9 \cdot 2) = 5(10 + 18) = 5 \cdot 28 = 140$.

Ответ: 140

2)

Используем тот же подход. Дано: $a_3=5$ и $a_8=13$.

Составим систему уравнений на основе формулы $a_n = a_1 + (n-1)d$:

$a_3 = a_1 + (3-1)d = a_1 + 2d = 5$

$a_8 = a_1 + (8-1)d = a_1 + 7d = 13$

Вычтем из второго уравнения первое:

$(a_1 + 7d) - (a_1 + 2d) = 13 - 5$

$5d = 8$

$d = \frac{8}{5}$

Подставим значение $d$ в первое уравнение:

$a_1 + 2 \cdot \frac{8}{5} = 5$

$a_1 + \frac{16}{5} = 5$

$a_1 = 5 - \frac{16}{5} = \frac{25}{5} - \frac{16}{5} = \frac{9}{5}$

Теперь вычислим сумму первых 10 членов по формуле $S_{10} = 5(2a_1 + 9d)$:

$S_{10} = 5(2 \cdot \frac{9}{5} + 9 \cdot \frac{8}{5}) = 5(\frac{18}{5} + \frac{72}{5}) = 5(\frac{18 + 72}{5}) = 5 \cdot \frac{90}{5} = 90$.

Ответ: 90

3)

Дано условие $a_5 + a_6 = 11$.

Выразим $a_5$ и $a_6$ через $a_1$ и $d$ с помощью формулы $a_n = a_1 + (n-1)d$:

$a_5 = a_1 + (5-1)d = a_1 + 4d$

$a_6 = a_1 + (6-1)d = a_1 + 5d$

Подставим эти выражения в данное равенство:

$(a_1 + 4d) + (a_1 + 5d) = 11$

$2a_1 + 9d = 11$

Формула суммы первых 10 членов арифметической прогрессии: $S_{10} = \frac{2a_1 + 9d}{2} \cdot 10 = 5(2a_1 + 9d)$.

Мы уже нашли, что выражение $2a_1 + 9d$ равно 11. Подставим это значение в формулу суммы:

$S_{10} = 5 \cdot 11 = 55$.

Ответ: 55

6.70. Пусть $a_1, a_2, \dots, a_n$ - арифметическая прогрессия, $a_1=a$, $a_n=b$, $(a>0, b>0)$. Выразите сумму $\frac{1}{\sqrt{a_1}+\sqrt{a_2}}+\frac{1}{\sqrt{a_2}+\sqrt{a_3}}+\dots+\frac{1}{\sqrt{a_{n-1}}+\sqrt{a_n}}$ через $a, b$ и $n$.

Обозначим искомую сумму через $S$. Она представляет собой сумму $n-1$ слагаемых:

$S = \frac{1}{\sqrt{a_1} + \sqrt{a_2}} + \frac{1}{\sqrt{a_2} + \sqrt{a_3}} + ... + \frac{1}{\sqrt{a_{n-1}} + \sqrt{a_n}}$

Рассмотрим общий член этой суммы вида $\frac{1}{\sqrt{a_k} + \sqrt{a_{k+1}}}$. Чтобы упростить это выражение, избавимся от иррациональности в знаменателе. Для этого умножим числитель и знаменатель на выражение, сопряженное знаменателю, то есть на $\sqrt{a_{k+1}} - \sqrt{a_k}$:

$\frac{1}{\sqrt{a_k} + \sqrt{a_{k+1}}} = \frac{\sqrt{a_{k+1}} - \sqrt{a_k}}{(\sqrt{a_k} + \sqrt{a_{k+1}})(\sqrt{a_{k+1}} - \sqrt{a_k})} = \frac{\sqrt{a_{k+1}} - \sqrt{a_k}}{a_{k+1} - a_k}$

По определению арифметической прогрессии, разность между любым последующим и предыдущим членом постоянна и равна разности прогрессии $d$. То есть, $a_{k+1} - a_k = d$.

Таким образом, каждый член суммы можно записать в виде:

$\frac{\sqrt{a_{k+1}} - \sqrt{a_k}}{d}$

Теперь запишем всю сумму $S$, используя это преобразование:

$S = \sum_{k=1}^{n-1} \frac{\sqrt{a_{k+1}} - \sqrt{a_k}}{d} = \frac{1}{d} \sum_{k=1}^{n-1} (\sqrt{a_{k+1}} - \sqrt{a_k})$

Распишем сумму, стоящую под знаком $\sum$:$(\sqrt{a_2} - \sqrt{a_1}) + (\sqrt{a_3} - \sqrt{a_2}) + (\sqrt{a_4} - \sqrt{a_3}) + ... + (\sqrt{a_n} - \sqrt{a_{n-1}})$

Эта сумма является телескопической: все промежуточные слагаемые взаимно уничтожаются. Остаются только первое и последнее слагаемые:

$\sum_{k=1}^{n-1} (\sqrt{a_{k+1}} - \sqrt{a_k}) = \sqrt{a_n} - \sqrt{a_1}$

Тогда выражение для $S$ принимает вид:

$S = \frac{\sqrt{a_n} - \sqrt{a_1}}{d}$

Теперь выразим разность прогрессии $d$ через известные величины $a$, $b$ и $n$. Используем формулу n-го члена арифметической прогрессии $a_n = a_1 + (n-1)d$. Подставим в нее $a_1 = a$ и $a_n = b$:

$b = a + (n-1)d$

Отсюда, если $n>1$, $d = \frac{b-a}{n-1}$.

Подставим это выражение для $d$ и значения $a_1=a, a_n=b$ в нашу формулу для $S$:

$S = \frac{\sqrt{b} - \sqrt{a}}{\frac{b-a}{n-1}} = \frac{(n-1)(\sqrt{b} - \sqrt{a})}{b-a}$

Чтобы упростить это выражение, заметим, что знаменатель $b-a$ можно разложить на множители по формуле разности квадратов: $b-a = (\sqrt{b})^2 - (\sqrt{a})^2 = (\sqrt{b}-\sqrt{a})(\sqrt{b}+\sqrt{a})$.

Тогда, если $b \neq a$:

$S = \frac{(n-1)(\sqrt{b} - \sqrt{a})}{(\sqrt{b}-\sqrt{a})(\sqrt{b}+\sqrt{a})} = \frac{n-1}{\sqrt{b}+\sqrt{a}}$

Если же $b=a$, то разность прогрессии $d=0$, все члены прогрессии равны $a$. Тогда исходная сумма равна:

$S = \sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{\sqrt{a} + \sqrt{a}} = \sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{2\sqrt{a}} = \frac{n-1}{2\sqrt{a}}$

Полученная нами формула $S = \frac{n-1}{\sqrt{b}+\sqrt{a}}$ при $b=a$ дает тот же результат: $S = \frac{n-1}{\sqrt{a}+\sqrt{a}} = \frac{n-1}{2\sqrt{a}}$. Таким образом, формула верна для всех случаев ($a>0, b>0$).

Ответ: $\frac{n-1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$

6.71. Запишите формулу общего члена арифметических прогрессий -7; 11; 29; ... и -3; 11; 25; ....

Для решения задачи воспользуемся формулой общего члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$, где $a_1$ — первый член прогрессии, $n$ — номер члена, а $d$ — разность прогрессии.

Для прогрессии -7; 11; 29; ...

1. Найдем первый член прогрессии. Из условия видно, что $a_1 = -7$.

2. Найдем разность прогрессии $d$. Для этого вычтем из второго члена первый:

$d = a_2 - a_1 = 11 - (-7) = 11 + 7 = 18$.

Для проверки можно вычесть из третьего члена второй:

$d = a_3 - a_2 = 29 - 11 = 18$.

Разность постоянна и равна 18.

3. Подставим найденные значения $a_1 = -7$ и $d = 18$ в формулу общего члена:

$a_n = -7 + (n-1) \cdot 18$

4. Упростим полученное выражение:

$a_n = -7 + 18n - 18$

$a_n = 18n - 25$

Ответ: $a_n = 18n - 25$.

Для прогрессии -3; 11; 25; ...

1. Найдем первый член прогрессии. Из условия $a_1 = -3$.

2. Найдем разность прогрессии $d$:

$d = a_2 - a_1 = 11 - (-3) = 11 + 3 = 14$.

Проверим:

$d = a_3 - a_2 = 25 - 11 = 14$.

Разность постоянна и равна 14.

3. Подставим значения $a_1 = -3$ и $d = 14$ в формулу общего члена:

$a_n = -3 + (n-1) \cdot 14$

4. Упростим выражение:

$a_n = -3 + 14n - 14$

$a_n = 14n - 17$

Ответ: $a_n = 14n - 17$.

6.72. Найдите первый член и знаменатель геометрической прогрессии:

1) $b_2=7, b_3=-1;$

2) $b_3=2, b_5=8;$

3) $b_{12}=-131, b_{185}=243;$

4) $b_2+b_3=7, b_3+b_4=49.$

1) Дано: $b_2=7$, $b_3=-1$.
Знаменатель геометрической прогрессии $q$ можно найти как отношение последующего члена к предыдущему:$q = \frac{b_3}{b_2} = \frac{-1}{7} = -\frac{1}{7}$.
Первый член прогрессии $b_1$ можно найти, используя формулу для второго члена: $b_2 = b_1 \cdot q$.
Отсюда $b_1 = \frac{b_2}{q}$.
Подставляем известные значения:$b_1 = \frac{7}{-\frac{1}{7}} = 7 \cdot (-7) = -49$.
Ответ: $b_1 = -49$, $q = -\frac{1}{7}$.

2) Дано: $b_3=2$, $b_5=8$.
Связь между членами геометрической прогрессии определяется формулой $b_n = b_k \cdot q^{n-k}$.
В нашем случае $b_5 = b_3 \cdot q^{5-3} = b_3 \cdot q^2$.
Отсюда можем найти $q^2$:$q^2 = \frac{b_5}{b_3} = \frac{8}{2} = 4$.
Уравнение $q^2 = 4$ имеет два решения: $q = 2$ и $q = -2$.
Теперь найдем первый член $b_1$, используя формулу для третьего члена: $b_3 = b_1 \cdot q^2$.
$b_1 = \frac{b_3}{q^2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
Таким образом, существуют две возможные прогрессии, удовлетворяющие условию.
Ответ: $b_1 = \frac{1}{2}$, $q = 2$ или $b_1 = \frac{1}{2}$, $q = -2$.

3) Дано: $b_{12}=-131$, $b_{185}=243$.
Используем формулу $b_n = b_k \cdot q^{n-k}$:
$b_{185} = b_{12} \cdot q^{185-12} = b_{12} \cdot q^{173}$.
Выразим $q^{173}$:$q^{173} = \frac{b_{185}}{b_{12}} = \frac{243}{-131} = -\frac{243}{131}$.
Отсюда находим знаменатель прогрессии $q$:$q = \sqrt[173]{-\frac{243}{131}} = -\sqrt[173]{\frac{243}{131}}$.
Теперь найдем первый член $b_1$ из формулы $b_{12} = b_1 \cdot q^{11}$:
$b_1 = \frac{b_{12}}{q^{11}}$.
Подставляем значения $b_{12}$ и $q$:$b_1 = \frac{-131}{(-\sqrt[173]{\frac{243}{131}})^{11}} = \frac{-131}{-(\frac{243}{131})^{\frac{11}{173}}} = 131 \cdot (\frac{131}{243})^{\frac{11}{173}}$.
Ответ: $b_1 = 131 \cdot (\frac{131}{243})^{\frac{11}{173}}$, $q = -\sqrt[173]{\frac{243}{131}}$.

4) Даны два уравнения:
$b_2 + b_3 = 7$
$b_3 + b_4 = 49$
Выразим члены прогрессии через первый член $b_1$ и знаменатель $q$:
$b_2 = b_1 q$, $b_3 = b_1 q^2$, $b_4 = b_1 q^3$.
Подставим эти выражения в систему уравнений:
$b_1 q + b_1 q^2 = 7$
$b_1 q^2 + b_1 q^3 = 49$
Вынесем общие множители за скобки в каждом уравнении:
$b_1 q (1+q) = 7$ (1)
$b_1 q^2 (1+q) = 49$ (2)
Разделим второе уравнение на первое (это возможно, так как правая часть первого уравнения не равна нулю, а значит $b_1 \ne 0$, $q \ne 0$ и $q \ne -1$):
$\frac{b_1 q^2 (1+q)}{b_1 q (1+q)} = \frac{49}{7}$
$q = 7$.
Теперь подставим найденное значение $q$ в первое уравнение, чтобы найти $b_1$:
$b_1 \cdot 7 \cdot (1+7) = 7$
$b_1 \cdot 7 \cdot 8 = 7$
$56 b_1 = 7$
$b_1 = \frac{7}{56} = \frac{1}{8}$.
Ответ: $b_1 = \frac{1}{8}$, $q = 7$.

6.73. Между числами 5 и 25 разместите семь чисел так, чтобы они вместе с данными числами образовали геометрическую прогрессию.

Пусть искомые семь чисел вместе с данными числами 5 и 25 образуют геометрическую прогрессию $(b_n)$.

Первый член этой прогрессии $b_1 = 5$.

Поскольку между 5 и 25 размещается семь чисел, общее количество членов прогрессии составляет $1 + 7 + 1 = 9$.

Таким образом, девятый член прогрессии $b_9 = 25$.

Общая формула для n-го члена геометрической прогрессии: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$, где $q$ — знаменатель прогрессии.

Подставим наши значения для $n=9$:

$b_9 = b_1 \cdot q^{9-1}$

$25 = 5 \cdot q^8$

Чтобы найти знаменатель $q$, решим это уравнение:

$q^8 = \frac{25}{5}$

$q^8 = 5$

Из этого уравнения следует, что $q = \sqrt[8]{5}$. Поскольку корень четной степени (8) извлекается из положительного числа, существует два действительных значения для $q$: положительное и отрицательное. Рассмотрим оба случая.

Случай 1: $q = \sqrt[8]{5}$ (положительный знаменатель)

Найдем семь чисел, которые являются членами прогрессии со второго по восьмой ($b_2, b_3, \dots, b_8$).

$b_2 = b_1 \cdot q = 5 \cdot \sqrt[8]{5}$

$b_3 = b_1 \cdot q^2 = 5 \cdot (\sqrt[8]{5})^2 = 5 \cdot \sqrt[4]{5}$

$b_4 = b_1 \cdot q^3 = 5 \cdot (\sqrt[8]{5})^3 = 5 \cdot \sqrt[8]{125}$

$b_5 = b_1 \cdot q^4 = 5 \cdot (\sqrt[8]{5})^4 = 5 \cdot \sqrt{5}$

$b_6 = b_1 \cdot q^5 = 5 \cdot (\sqrt[8]{5})^5 = 5 \cdot \sqrt[8]{3125}$

$b_7 = b_1 \cdot q^6 = 5 \cdot (\sqrt[8]{5})^6 = 5 \cdot \sqrt[4]{125}$

$b_8 = b_1 \cdot q^7 = 5 \cdot (\sqrt[8]{5})^7 = 5 \cdot \sqrt[8]{78125}$

Случай 2: $q = -\sqrt[8]{5}$ (отрицательный знаменатель)

В этом случае знаки членов прогрессии будут чередоваться.

$b_2 = b_1 \cdot q = -5 \cdot \sqrt[8]{5}$

$b_3 = b_1 \cdot q^2 = 5 \cdot \sqrt[4]{5}$

$b_4 = b_1 \cdot q^3 = -5 \cdot \sqrt[8]{125}$

$b_5 = b_1 \cdot q^4 = 5 \cdot \sqrt{5}$

$b_6 = b_1 \cdot q^5 = -5 \cdot \sqrt[8]{3125}$

$b_7 = b_1 \cdot q^6 = 5 \cdot \sqrt[4]{125}$

$b_8 = b_1 \cdot q^7 = -5 \cdot \sqrt[8]{78125}$

Оба набора чисел являются решением задачи. Если не указано иное, обычно подразумевается решение с положительным знаменателем.

Ответ: Существуют два набора из семи чисел, удовлетворяющих условию:
1) $5\sqrt[8]{5}, 5\sqrt[4]{5}, 5\sqrt[8]{125}, 5\sqrt{5}, 5\sqrt[8]{3125}, 5\sqrt[4]{125}, 5\sqrt[8]{78125}$
2) $-5\sqrt[8]{5}, 5\sqrt[4]{5}, -5\sqrt[8]{125}, 5\sqrt{5}, -5\sqrt[8]{3125}, 5\sqrt[4]{125}, -5\sqrt[8]{78125}$

6.74. При каких значениях $a$ корни уравнений $x^2-5x+4=0$ и $2x-a=0$ образуют первые три члена геометрической прогрессии?

Для решения задачи сначала найдем корни каждого из уравнений.

1. Решим квадратное уравнение $x^2 - 5x + 4 = 0$.
По теореме Виета, сумма корней равна $5$, а их произведение равно $4$. Легко подобрать корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = 4$.
Также можно найти их через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 - 16 = 9$.
$x_1 = \frac{5 - \sqrt{9}}{2} = \frac{2}{2} = 1$.
$x_2 = \frac{5 + \sqrt{9}}{2} = \frac{8}{2} = 4$.

2. Решим линейное уравнение $2x - a = 0$.
Выразим $x$:
$2x = a \Rightarrow x_3 = \frac{a}{2}$.

Теперь у нас есть три числа, которые должны образовывать первые три члена геометрической прогрессии: $1$, $4$ и $\frac{a}{2}$. Обозначим члены прогрессии как $b_1, b_2, b_3$. Для любой геометрической прогрессии выполняется характеристическое свойство: квадрат среднего члена равен произведению его соседних членов, то есть $b_2^2 = b_1 \cdot b_3$.

Рассмотрим все возможные варианты расположения этих трех чисел в прогрессии.

Случай 1: Прогрессия имеет вид $1, 4, \frac{a}{2}$.
Здесь $b_1=1$, $b_2=4$, $b_3=\frac{a}{2}$.
Используя свойство прогрессии, получаем: $4^2 = 1 \cdot \frac{a}{2}$.
$16 = \frac{a}{2}$, откуда $a = 32$.

Случай 2: Прогрессия имеет вид $1, \frac{a}{2}, 4$.
Здесь $b_1=1$, $b_2=\frac{a}{2}$, $b_3=4$.
Используя свойство прогрессии, получаем: $(\frac{a}{2})^2 = 1 \cdot 4$.
$\frac{a^2}{4} = 4$, откуда $a^2 = 16$, следовательно $a = 4$ или $a = -4$.

Случай 3: Прогрессия имеет вид $\frac{a}{2}, 1, 4$.
Здесь $b_1=\frac{a}{2}$, $b_2=1$, $b_3=4$.
Используя свойство прогрессии, получаем: $1^2 = \frac{a}{2} \cdot 4$.
$1 = 2a$, откуда $a = \frac{1}{2}$.

Остальные три возможных порядка ($4, 1, \frac{a}{2}$; $4, \frac{a}{2}, 1$; $\frac{a}{2}, 4, 1$) не дадут новых значений для $a$, так как они приводят к уравнениям, которые уже были решены в случаях 1-3. Например, для последовательности $4, 1, \frac{a}{2}$ имеем $1^2 = 4 \cdot \frac{a}{2}$, что эквивалентно случаю 3.

Таким образом, мы нашли все возможные значения параметра $a$.
Ответ: $-4; \frac{1}{2}; 4; 32$.

6.75. Пусть $b_1, b_2, \dots, b_n, \dots$ — бесконечно убывающая геометрическая прогрессия. Выразите сумму через $b_1$ и $q$:

1) $b_1+b_2+b_3+\dots;$

2) $b_1^2+b_2^2+b_3^2+\dots;$

3) $b_1^3+b_2^3+b_3^3+\dots$

По условию, последовательность $b_1, b_2, \dots, b_n, \dots$ является бесконечно убывающей геометрической прогрессией. Это означает, что ее знаменатель $q$ удовлетворяет условию $|q| < 1$. Сумма такой прогрессии вычисляется по формуле $S = \frac{b_1}{1-q}$, где $b_1$ — первый член прогрессии, а $q$ — ее знаменатель.

1) $b_1+b_2+b_3+\dots$
Это сумма исходной бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Первый член этой прогрессии равен $b_1$, а знаменатель равен $q$. Применяя формулу суммы, получаем: $S_1 = \frac{b_1}{1-q}$.
Ответ: $\frac{b_1}{1-q}$.

2) $b_1^2+b_2^2+b_3^2+\dots$
Рассмотрим последовательность, состоящую из квадратов членов исходной прогрессии: $b_1^2, b_2^2, b_3^2, \dots$. Общий член этой последовательности $c_n = b_n^2 = (b_1 q^{n-1})^2 = b_1^2 (q^2)^{n-1}$. Это также геометрическая прогрессия. Ее первый член $c_1 = b_1^2$, а знаменатель $q' = q^2$. Поскольку по условию $|q| < 1$, то и $|q'| = |q^2| = |q|^2 < 1$. Следовательно, новая прогрессия также является бесконечно убывающей. Сумма этой прогрессии равна: $S_2 = \frac{c_1}{1-q'} = \frac{b_1^2}{1-q^2}$.
Ответ: $\frac{b_1^2}{1-q^2}$.

3) $b_1^3+b_2^3+b_3^3+\dots$
Рассмотрим последовательность, состоящую из кубов членов исходной прогрессии: $b_1^3, b_2^3, b_3^3, \dots$. Общий член этой последовательности $d_n = b_n^3 = (b_1 q^{n-1})^3 = b_1^3 (q^3)^{n-1}$. Это геометрическая прогрессия с первым членом $d_1 = b_1^3$ и знаменателем $q'' = q^3$. Так как $|q| < 1$, то и $|q''| = |q^3| = |q|^3 < 1$. Значит, эта прогрессия является бесконечно убывающей. Сумма этой прогрессии равна: $S_3 = \frac{d_1}{1-q''} = \frac{b_1^3}{1-q^3}$.
Ответ: $\frac{b_1^3}{1-q^3}$.

6.76. Первый член бесконечно убывающей геометрической прогрессии равен 0,3, а ее сумма равна 0,9. Найдите ее знаменатель.

Для нахождения знаменателя бесконечно убывающей геометрической прогрессии воспользуемся формулой ее суммы: $S = \frac{b_1}{1 - q}$, где $S$ — сумма прогрессии, $b_1$ — ее первый член, а $q$ — знаменатель.

По условию задачи даны:

Первый член прогрессии $b_1 = 0,3$.

Сумма прогрессии $S = 0,9$.

Подставим известные значения в формулу и получим уравнение:

$0,9 = \frac{0,3}{1 - q}$

Теперь решим это уравнение относительно $q$. Для этого умножим обе части уравнения на $(1 - q)$, так как для бесконечно убывающей прогрессии знаменатель $q \neq 1$.

$0,9 \cdot (1 - q) = 0,3$

Раскроем скобки в левой части:

$0,9 - 0,9q = 0,3$

Перенесем члены уравнения так, чтобы выделить слагаемое с $q$:

$0,9q = 0,9 - 0,3$

$0,9q = 0,6$

Найдем $q$, разделив обе части на 0,9:

$q = \frac{0,6}{0,9}$

Сократим дробь, для этого можно умножить числитель и знаменатель на 10:

$q = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$

Условие для бесконечно убывающей геометрической прогрессии — модуль знаменателя должен быть меньше единицы, то есть $|q| < 1$. В нашем случае $|\frac{2}{3}| < 1$, что является верным. Следовательно, найденный знаменатель корректен.

Ответ: $\frac{2}{3}$.

6.77. Найдите сумму ряда:

1) $1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{9} - \frac{1}{27} + ...;$

2) $1 + \frac{1}{5} + \frac{1}{25} + \frac{1}{125} + ...$

1) Данный ряд $1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{9} - \frac{1}{27} + \dots$ является суммой членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

Первый член прогрессии $b_1 = 1$.

Для нахождения знаменателя прогрессии $q$ разделим второй член на первый:

$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{-1/3}{1} = -\frac{1}{3}$.

Поскольку модуль знаменателя $|q| = |-\frac{1}{3}| = \frac{1}{3} < 1$, ряд сходится, и его сумму можно вычислить по формуле суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

$S = \frac{b_1}{1 - q}$.

Подставим значения $b_1$ и $q$ в формулу:

$S = \frac{1}{1 - (-\frac{1}{3})} = \frac{1}{1 + \frac{1}{3}} = \frac{1}{\frac{4}{3}} = \frac{3}{4}$.

Ответ: $\frac{3}{4}$.

2) Данный ряд $1 + \frac{1}{5} + \frac{1}{25} + \frac{1}{125} + \dots$ также является суммой членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

Первый член прогрессии $b_1 = 1$.

Найдем знаменатель прогрессии $q$, разделив второй член на первый:

$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{1/5}{1} = \frac{1}{5}$.

Модуль знаменателя $|q| = |\frac{1}{5}| = \frac{1}{5} < 1$, следовательно, ряд сходится. Для нахождения его суммы воспользуемся той же формулой:

$S = \frac{b_1}{1 - q}$.

Подставим значения $b_1$ и $q$:

$S = \frac{1}{1 - \frac{1}{5}} = \frac{1}{\frac{5}{5} - \frac{1}{5}} = \frac{1}{\frac{4}{5}} = \frac{5}{4}$.

Ответ: $\frac{5}{4}$.