Номер 6.68, страница 205 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.68. Пусть $b_1, b_2, ..., b_n, ...$ – бесконечно убывающая геометрическая прогрессия со знаменателем $q$ $(|q|<1)$. Докажите формулу $b_1 + b_2 + ... + b_n + ... = \frac{b_1}{1-q}$.

Суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии $S = b_1 + b_2 + \dots + b_n + \dots$ по определению является предел последовательности ее частичных сумм $S_n$ при $n \to \infty$.

$S = \lim_{n \to \infty} S_n$, где $S_n = b_1 + b_2 + \dots + b_n$.

Сначала найдем формулу для суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии, $S_n$. По определению геометрической прогрессии, $n$-й член равен $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$, где $b_1$ — первый член, а $q$ — знаменатель.

Запишем сумму $S_n$:

$S_n = b_1 + b_1q + b_1q^2 + \dots + b_1q^{n-1}$

Умножим обе части этого равенства на $q$:

$qS_n = b_1q + b_1q^2 + b_1q^3 + \dots + b_1q^n$

Теперь вычтем второе равенство из первого:

$S_n - qS_n = (b_1 + b_1q + \dots + b_1q^{n-1}) - (b_1q + b_1q^2 + \dots + b_1q^n)$

Большинство членов в правой части сокращаются:

$S_n(1-q) = b_1 - b_1q^n = b_1(1-q^n)$

По условию задачи, $|q| < 1$, что означает $q \neq 1$. Следовательно, мы можем разделить обе части на $(1-q)$:

$S_n = \frac{b_1(1-q^n)}{1-q}$

Теперь мы можем найти сумму бесконечной прогрессии, взяв предел от $S_n$ при $n$, стремящемся к бесконечности:

$S = \lim_{n \to \infty} S_n = \lim_{n \to \infty} \frac{b_1(1-q^n)}{1-q}$

Поскольку по условию $|q| < 1$, предел степени $q^n$ при $n \to \infty$ равен нулю:

$\lim_{n \to \infty} q^n = 0$

Подставляя это значение в формулу для $S$, получаем:

$S = \frac{b_1(1-0)}{1-q} = \frac{b_1}{1-q}$

Таким образом, мы доказали требуемую формулу.

Ответ: $b_1 + b_2 + \dots + b_n + \dots = \frac{b_1}{1-q}$