Номер 6.69, страница 205 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.69. Найдите сумму первых 10 членов арифметической прогрессии, если:

1) $a_2=7, a_4=11;$

2) $a_3=5, a_8=13;$

3) $a_5+a_6=11.$

1)

Для нахождения суммы первых 10 членов арифметической прогрессии $S_{10}$ воспользуемся формулой $S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n$, где $a_1$ — первый член прогрессии, а $d$ — её разность. При $n=10$ формула имеет вид $S_{10} = \frac{2a_1 + 9d}{2} \cdot 10 = 5(2a_1 + 9d)$.

Сначала найдём $a_1$ и $d$, используя данные $a_2=7$ и $a_4=11$. Формула n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

Составим систему уравнений:

$a_2 = a_1 + (2-1)d = a_1 + d = 7$

$a_4 = a_1 + (4-1)d = a_1 + 3d = 11$

Вычтем из второго уравнения первое:

$(a_1 + 3d) - (a_1 + d) = 11 - 7$

$2d = 4$

$d = 2$

Теперь подставим значение $d$ в первое уравнение, чтобы найти $a_1$:

$a_1 + 2 = 7$

$a_1 = 5$

Теперь мы можем вычислить сумму первых 10 членов:

$S_{10} = 5(2a_1 + 9d) = 5(2 \cdot 5 + 9 \cdot 2) = 5(10 + 18) = 5 \cdot 28 = 140$.

Ответ: 140

2)

Используем тот же подход. Дано: $a_3=5$ и $a_8=13$.

Составим систему уравнений на основе формулы $a_n = a_1 + (n-1)d$:

$a_3 = a_1 + (3-1)d = a_1 + 2d = 5$

$a_8 = a_1 + (8-1)d = a_1 + 7d = 13$

Вычтем из второго уравнения первое:

$(a_1 + 7d) - (a_1 + 2d) = 13 - 5$

$5d = 8$

$d = \frac{8}{5}$

Подставим значение $d$ в первое уравнение:

$a_1 + 2 \cdot \frac{8}{5} = 5$

$a_1 + \frac{16}{5} = 5$

$a_1 = 5 - \frac{16}{5} = \frac{25}{5} - \frac{16}{5} = \frac{9}{5}$

Теперь вычислим сумму первых 10 членов по формуле $S_{10} = 5(2a_1 + 9d)$:

$S_{10} = 5(2 \cdot \frac{9}{5} + 9 \cdot \frac{8}{5}) = 5(\frac{18}{5} + \frac{72}{5}) = 5(\frac{18 + 72}{5}) = 5 \cdot \frac{90}{5} = 90$.

Ответ: 90

3)

Дано условие $a_5 + a_6 = 11$.

Выразим $a_5$ и $a_6$ через $a_1$ и $d$ с помощью формулы $a_n = a_1 + (n-1)d$:

$a_5 = a_1 + (5-1)d = a_1 + 4d$

$a_6 = a_1 + (6-1)d = a_1 + 5d$

Подставим эти выражения в данное равенство:

$(a_1 + 4d) + (a_1 + 5d) = 11$

$2a_1 + 9d = 11$

Формула суммы первых 10 членов арифметической прогрессии: $S_{10} = \frac{2a_1 + 9d}{2} \cdot 10 = 5(2a_1 + 9d)$.

Мы уже нашли, что выражение $2a_1 + 9d$ равно 11. Подставим это значение в формулу суммы:

$S_{10} = 5 \cdot 11 = 55$.

Ответ: 55