Номер 6.73, страница 205 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.73. Между числами 5 и 25 разместите семь чисел так, чтобы они вместе с данными числами образовали геометрическую прогрессию.

Пусть искомые семь чисел вместе с данными числами 5 и 25 образуют геометрическую прогрессию $(b_n)$.

Первый член этой прогрессии $b_1 = 5$.

Поскольку между 5 и 25 размещается семь чисел, общее количество членов прогрессии составляет $1 + 7 + 1 = 9$.

Таким образом, девятый член прогрессии $b_9 = 25$.

Общая формула для n-го члена геометрической прогрессии: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$, где $q$ — знаменатель прогрессии.

Подставим наши значения для $n=9$:

$b_9 = b_1 \cdot q^{9-1}$

$25 = 5 \cdot q^8$

Чтобы найти знаменатель $q$, решим это уравнение:

$q^8 = \frac{25}{5}$

$q^8 = 5$

Из этого уравнения следует, что $q = \sqrt[8]{5}$. Поскольку корень четной степени (8) извлекается из положительного числа, существует два действительных значения для $q$: положительное и отрицательное. Рассмотрим оба случая.

Случай 1: $q = \sqrt[8]{5}$ (положительный знаменатель)

Найдем семь чисел, которые являются членами прогрессии со второго по восьмой ($b_2, b_3, \dots, b_8$).

$b_2 = b_1 \cdot q = 5 \cdot \sqrt[8]{5}$

$b_3 = b_1 \cdot q^2 = 5 \cdot (\sqrt[8]{5})^2 = 5 \cdot \sqrt[4]{5}$

$b_4 = b_1 \cdot q^3 = 5 \cdot (\sqrt[8]{5})^3 = 5 \cdot \sqrt[8]{125}$

$b_5 = b_1 \cdot q^4 = 5 \cdot (\sqrt[8]{5})^4 = 5 \cdot \sqrt{5}$

$b_6 = b_1 \cdot q^5 = 5 \cdot (\sqrt[8]{5})^5 = 5 \cdot \sqrt[8]{3125}$

$b_7 = b_1 \cdot q^6 = 5 \cdot (\sqrt[8]{5})^6 = 5 \cdot \sqrt[4]{125}$

$b_8 = b_1 \cdot q^7 = 5 \cdot (\sqrt[8]{5})^7 = 5 \cdot \sqrt[8]{78125}$

Случай 2: $q = -\sqrt[8]{5}$ (отрицательный знаменатель)

В этом случае знаки членов прогрессии будут чередоваться.

$b_2 = b_1 \cdot q = -5 \cdot \sqrt[8]{5}$

$b_3 = b_1 \cdot q^2 = 5 \cdot \sqrt[4]{5}$

$b_4 = b_1 \cdot q^3 = -5 \cdot \sqrt[8]{125}$

$b_5 = b_1 \cdot q^4 = 5 \cdot \sqrt{5}$

$b_6 = b_1 \cdot q^5 = -5 \cdot \sqrt[8]{3125}$

$b_7 = b_1 \cdot q^6 = 5 \cdot \sqrt[4]{125}$

$b_8 = b_1 \cdot q^7 = -5 \cdot \sqrt[8]{78125}$

Оба набора чисел являются решением задачи. Если не указано иное, обычно подразумевается решение с положительным знаменателем.

Ответ: Существуют два набора из семи чисел, удовлетворяющих условию:
1) $5\sqrt[8]{5}, 5\sqrt[4]{5}, 5\sqrt[8]{125}, 5\sqrt{5}, 5\sqrt[8]{3125}, 5\sqrt[4]{125}, 5\sqrt[8]{78125}$
2) $-5\sqrt[8]{5}, 5\sqrt[4]{5}, -5\sqrt[8]{125}, 5\sqrt{5}, -5\sqrt[8]{3125}, 5\sqrt[4]{125}, -5\sqrt[8]{78125}$