Номер 6.72, страница 205 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.72. Найдите первый член и знаменатель геометрической прогрессии:

1) $b_2=7, b_3=-1;$

2) $b_3=2, b_5=8;$

3) $b_{12}=-131, b_{185}=243;$

4) $b_2+b_3=7, b_3+b_4=49.$

1) Дано: $b_2=7$, $b_3=-1$.
Знаменатель геометрической прогрессии $q$ можно найти как отношение последующего члена к предыдущему:$q = \frac{b_3}{b_2} = \frac{-1}{7} = -\frac{1}{7}$.
Первый член прогрессии $b_1$ можно найти, используя формулу для второго члена: $b_2 = b_1 \cdot q$.
Отсюда $b_1 = \frac{b_2}{q}$.
Подставляем известные значения:$b_1 = \frac{7}{-\frac{1}{7}} = 7 \cdot (-7) = -49$.
Ответ: $b_1 = -49$, $q = -\frac{1}{7}$.

2) Дано: $b_3=2$, $b_5=8$.
Связь между членами геометрической прогрессии определяется формулой $b_n = b_k \cdot q^{n-k}$.
В нашем случае $b_5 = b_3 \cdot q^{5-3} = b_3 \cdot q^2$.
Отсюда можем найти $q^2$:$q^2 = \frac{b_5}{b_3} = \frac{8}{2} = 4$.
Уравнение $q^2 = 4$ имеет два решения: $q = 2$ и $q = -2$.
Теперь найдем первый член $b_1$, используя формулу для третьего члена: $b_3 = b_1 \cdot q^2$.
$b_1 = \frac{b_3}{q^2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
Таким образом, существуют две возможные прогрессии, удовлетворяющие условию.
Ответ: $b_1 = \frac{1}{2}$, $q = 2$ или $b_1 = \frac{1}{2}$, $q = -2$.

3) Дано: $b_{12}=-131$, $b_{185}=243$.
Используем формулу $b_n = b_k \cdot q^{n-k}$:
$b_{185} = b_{12} \cdot q^{185-12} = b_{12} \cdot q^{173}$.
Выразим $q^{173}$:$q^{173} = \frac{b_{185}}{b_{12}} = \frac{243}{-131} = -\frac{243}{131}$.
Отсюда находим знаменатель прогрессии $q$:$q = \sqrt[173]{-\frac{243}{131}} = -\sqrt[173]{\frac{243}{131}}$.
Теперь найдем первый член $b_1$ из формулы $b_{12} = b_1 \cdot q^{11}$:
$b_1 = \frac{b_{12}}{q^{11}}$.
Подставляем значения $b_{12}$ и $q$:$b_1 = \frac{-131}{(-\sqrt[173]{\frac{243}{131}})^{11}} = \frac{-131}{-(\frac{243}{131})^{\frac{11}{173}}} = 131 \cdot (\frac{131}{243})^{\frac{11}{173}}$.
Ответ: $b_1 = 131 \cdot (\frac{131}{243})^{\frac{11}{173}}$, $q = -\sqrt[173]{\frac{243}{131}}$.

4) Даны два уравнения:
$b_2 + b_3 = 7$
$b_3 + b_4 = 49$
Выразим члены прогрессии через первый член $b_1$ и знаменатель $q$:
$b_2 = b_1 q$, $b_3 = b_1 q^2$, $b_4 = b_1 q^3$.
Подставим эти выражения в систему уравнений:
$b_1 q + b_1 q^2 = 7$
$b_1 q^2 + b_1 q^3 = 49$
Вынесем общие множители за скобки в каждом уравнении:
$b_1 q (1+q) = 7$ (1)
$b_1 q^2 (1+q) = 49$ (2)
Разделим второе уравнение на первое (это возможно, так как правая часть первого уравнения не равна нулю, а значит $b_1 \ne 0$, $q \ne 0$ и $q \ne -1$):
$\frac{b_1 q^2 (1+q)}{b_1 q (1+q)} = \frac{49}{7}$
$q = 7$.
Теперь подставим найденное значение $q$ в первое уравнение, чтобы найти $b_1$:
$b_1 \cdot 7 \cdot (1+7) = 7$
$b_1 \cdot 7 \cdot 8 = 7$
$56 b_1 = 7$
$b_1 = \frac{7}{56} = \frac{1}{8}$.
Ответ: $b_1 = \frac{1}{8}$, $q = 7$.